「解析学基礎/微分2」の版間の差分

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===対数関数の微分===
対数関数の微分を計算します。指数関数と密接な関係にあるので、指数関数の微分を用いるととても容易に計算できます。
 
まず、次のように 変数 ''y'' を定義します。
Closely related to the exponentiation, is the logarithm. Just as with exponents, we will derive the equation for a specific case first (the natural log, where the base is ''e''), and then work to generalize it for any logarithm.
 
First let us create a variable ''y'' such that:
 
:<math>y = \ln\left(x\right)</math>
右辺の lnが 対数関数です。ln を用いる時は、底が ''e'' の対数関数、即ち、自然対数関数です。底が ''e'' で無いときなどは、log などを用いますので、特に、底が ''e'' である事を明示したい場合などは、 ln が使われます。 log という表記に慣れている場合は log だと思って頂いて構いません。日本の学校ではよく、 底が ''e'' でも log を用いて教えることが多いです。
 
''y'' の ''x'' による微分を求めるために次のような変形を行います。
It should be noted that what we want to find is the derivative of ''y'' or <math>\frac{dy}{dx} </math>.
 
Next we will put both sides to the power of ''e'' in an attempt to remove the logarithm from the right hand side:
 
:<math>e^y = x</math>
そして、 両辺を ''x'' で微分します。 特に左辺には ''x'' がありませんが、 ''y'' は ''x'' の関数として定義されていることを考えて、合成関数の微分を使います。
 
Now, applying the chain rule and the property of exponents we derived earlier, we take the derivative of both sides:
 
:<math> \frac{dy}{dx} \cdot e^y = 1</math>
 
''x'' = ''e''<sup>''y''</sup> という関係を再び使うと
This leaves us with the derivative:
:<math> \left(\frac{dy}{dx}\right) \cdot x = \frac{1}{e^y} </math>
 
になりますから、次の公式が得られます。
:<math> \frac{dy}{dx} = \frac{1}{e^y}</math>
 
Substituting back our original equation of ''x'' = ''e''<sup>''y''</sup>, we find that:
 
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivative of the Natural Logarithm自然対数関数の微分'''<br>
<math>\frac{d}{dx}\ln\left(x\right) = \frac{1}{x}\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>
 
If we wanted, we could go through that same process again for a generalized base, but it is easier just to use properties of logs and realize that:
 
底が、''e'' で無い場合の対数関数は、底の変換公式を用いる事によって
:<math>\log_b(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} </math>
となり、1 / ln(''b'') は定数ですから、微分の外に出す事ができ
 
Since 1 / ln(''b'') is a constant, we can just take it outside of the derivative:
 
:<math>\frac{d}{dx}\log_b(x) = \frac{1}{\ln(b)} \cdot \frac{d}{dx} \ln(x) </math>
 
となります。したがって次の公式が得られます。
Which leaves us with the generalized form of:
 
<table WIDTH="75%"><tr><td style="background-color: #FFFFFF; border: solid 1px #D6D6FF; padding: 1em;" valign=top>
<center>'''Derivative of the Logarithm対数関数の微分'''<br>
<math>\frac{d}{dx}\log_b\left(x\right) = \frac{1}{x\ln\left(b\right)}\,\!</math><br>
</center></td></tr></table>