「有限群論序論」の版間の差分
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<math>\bar{f}(aK)=e_H</math>であるとすると、<math>f(a)=e_H</math>なので、<math>a \in \ker f</math>。よってa～<math>e_G</math>なので、<math>aH = e_G H</math>。すなわち<math>\ker \bar{f} =\{ e_G H \}</math>である。 //
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準同型定理は一般の群について成り立つ重要な定理であったが、特に群の位数が有限である場合に限ると、さらに興味深い結果が表れてくる。次は、そのような結果の代表的なものであるシローの定理について述べる。
=== 剰余類別 ===
さきほど商群を定義するときに、群をその部分群で割った商集合を考え、商集合の各元を剰余類と呼んだ。ここで、当たり前であるが、剰余類をすべて直和するともとの群になる、ということに注意しよう。すなわち、各剰余類の元をすべて集めると、もとの群の元をすべて（重複なく）集めることができているのである。この事実から、さらに考察を進めると、次の命題が成り立つことがわかる。ここで、「#」は、集合の濃度をあらわすものとする。
'''命題''' Gを群、H,KをGの部分群で<math>K \subset H</math>とすると、<math>\sharp(G/H) \cdot \sharp(H/K) = \sharp(G/K)</math>
'''系''' Gを群、HをGの部分群とすると、<math>\sharp(G/H) \cdot \sharp H = \sharp G</math>。特に、Gが有限群のとき、その部分群の位数はGの位数の約数。
部分群の位数はもとの群の位数の約数、という事実は、しばしば役に立つので知っておきたい。
=== シローの定理 ===
シローの定理について述べる前に、まずはいくつか言葉の定義をしておく。
'''定義''' Gを群、HとH'をGの部分群とする。ある<math>g \in G</math>が存在して<math>gHg^{-1}=H'</math>となるとき、HとH'は共役であるという。
この言葉を使うと、部分群が正規部分群であるとは、自らと共役な群は自分自身しかない、ということである。
'''定義''' 位数がある素数pの冪である群を、p群という。
'''定義''' Gを有限群とする。Gの位数が<math>\sharp G=p_1^{r_1} \cdot ... \cdot p_n^{r_n}</math>と素因数分解されるとき、位数が<math>p_i^{r_i}</math>の部分群のことを、p<sub>i</sub>シロー部分群（シローp<sub>i</sub>部分群とも）という。
以上の準備のもとで、シローの定理のステートメントを述べることができる。
'''定理'''(Sylow)
# 有限群Gは、任意の素数pに対してpシロー部分群を持つ。
# Gのp部分群はあるpシロー部分群に含まれる。
# pシロー部分群は互いに共役である。
# シローp部分群の数をpで割った余りは1である。
有限群の構造をかなり具体的に指し示す、美しい定理である。
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