「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分

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== はじめに ==
微分方程式は、常微分方程式関数偏微分方程式に分その何階れる。常微分方程式は、変の導関を二つする微分方程式のことである。こに対して、偏微分方程式はそれ以上の数の変を満たすような関数を相手にす求め。ここでは操作を微分方程式につを解く、とて記述する
 
微分方程式は、大きく分けて常微分方程式と偏微分方程式に分かれる。常微分方程式とは、一変数関数とその導関数との方程式のことである。偏微分方程式とは、多変数関数とその偏導関数との方程式のことである。ここでは、常微分方程式の解き方について記述する。
==斉次一階線形微分方程式==
 
常微分方程式はさらに、その導関数が最大で何階なのかということによって分類される。
== 斉次一階線形微分方程式 ==
常微分方程式はさらに、その方程式が含む導関数が最大で何階なのかということによって分類される。
しばらくはまず、一階微分方程式について見てみよう。
 
一階線形微分方程式が線型であるいうのは、
:<math>y' + f(x)y = g(x) </math>
と書ける微分方程式ことある。このように書けないものは一階"非"線形微分方程式という
 
斉次一階線微分方程式とは、一階線型微分方程式であって、特にg(x)=0であるも一階線形微分方程式ことを言う。
g(x)=0と限らない場合は斉次一階線型微分方程式と区別して"非”斉次一階線型微分方程式というのは容易に想像ができるだろう。
 
まずは斉次一階線型微分方程式を解いてみよう。
簡単な微分積分法しか知らない我々にとっては、これ程までに限定してやっと解けるようになるのである。
 
纏めて我々は、今次の微分方程式を解こうとしている。
今解こうとしているのは、次の微分方程式である。
:<math>y' + f(x)y = 0 </math>
:まず<math>y \ne 0</math>を仮定して、この式を同値変型する。
::<math>{{y'} \over {y}} = -f(x)</math>
:両辺を積分して
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:右は常に正なので、e<sup>C_0</sup>=Cとして、
::<math>y = Ce^{\int{ - f(x)dx}}</math> (ii)
これは、斉次方程式の一般解と呼ばれていて、覚えるべき公式である。
 
この解法を変数分離法といい、得られた結果をこの斉次方程式の一般解という。
例題
 
'''例題''' - 次の微分方程式を解け。
:<math>y' -4xy = 0</math>
 
'''解'''
:<math>y = Ce^{\int{ - ( -4x )dx }}= Ce^{2x^2}</math>
 
応用一般解はこのよう於い求められたが、<math>y(x_0)=y_0</math>となるときの特殊解yを求めなければならないときが出てくもあだろう
この問題は初期値問題と呼ばれていて、一般解を求める時((i)の時)に不定積分を行うところを定積分で行う方法と(ii)に直接代入してCを求める方法がある。
前者の方は、多少厄介だが、積分記号を外せないときにも解を求められ、後者はその逆である。
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::⇔<math>y=y_0e^{\int_{x_0}^{x} -f(x)\ dx }</math>
 
気付いた読者なら分かると思うが、結局一般解(ii)にけるCが<math>y_0</math>になっただけであった
 
'''例題''' - 次の微分方程式の初期値問題を解け。
例題
:<math>y' + ysinxy \sin x = 0</math><math> ; y(0) = {3 \over 2}</math>
'''解'''
:<math>y={3 \over 2}e^{-\int_{x0}^{x_0x} sint\sin t\ dt}={3 \over 2}e^{\cos x-1}</math>