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"ガウスの法則"を追加。
49 行
 
ここではこれらの式がどの様に書かれるかを見ていく。
 
 
 
==Gaussの法則==
 
 
空間中に電荷を置くと、
その回りには、
等方的に
<math>
\vec E = \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac q {r^2} \vec e _r
</math>
の電界が生じる。
ただし、これはSI単位系で書かれた式であり、
ガウス単位系では、
<math>
\vec E = \frac q {r^2} \vec e _r
</math>
と書かれる。
放射状に電界が広がるという描像は変化していない
ことに注意。
これを一般化すると、
ある表面積分を行なったとき、
<math>
4\pi r^2 \cdot \vec E = 4\pi r^2 \cdot \frac 1 {4\pi\epsilon _0} \frac q {r^2} \vec e _r
</math>
<math>
\iint d\vec S \vec E = \frac 1 {\epsilon _0} \iiint d V \rho
</math>
が成り立つ。
ここで、
<math>
\iiint d V \rho = q
</math>
である。(電荷密度の定義)
ここで、
<math>
ho</math>は電荷密度である。
ガウスの定理を用いて
この式の
左辺を空間積分で書き変えると、
<math>
\iint d\vec S \vec E
</math>
<math>
=\iiint dV \textrm{div} \vec E
</math>
<math>
= \iiint d V \rho
</math>
 
よって、
<math>
\textrm {div}\vec E = \frac \rho {\epsilon _0}
</math>
が成り立つ。
同じ計算をすると、ガウス単位系では
<math>
\textrm {div}\vec E = 4 \pi \rho
</math>
となることが分る。
 
ここで、
<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu} = 4\pi J _\nu
</math>
の第0成分を書き変えると、
(
<math>
\partial ^\mu = (0,- \partial _x ,- \partial _y, - \partial _z )
</math>
<math>
F _{\mu 0}= (0 , -E _x ,-E _y ,-E _z )
</math>
に注意。
)
<math>
\partial ^\mu F _{\mu\nu}
</math>
<math>
= \textrm{div} \vec E = 4 \pi \rho
</math>
となり、確かに現象と一致する。