「線型代数学/ベクトル」の版間の差分
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法線ベクトル例追加図以外 |
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18 行
== ノルム ==
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、
:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math>▼
▲math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math>
と定義される。これをaの''ノルム''と言う。
431 ⟶ 430行目:
\end{pmatrix}</math>
'''演習
1.2x-y+3z=1を助変数表字にせよ
515 ⟶ 514行目:
なので、'''a'''と直線(5.1)'は直交し、ゆえに直線(5.1)と直交する。このとき'''a'''を直線(5.1)の''法線ベクトル''と言う。
'''例'''▼
Oでない点A,Xがある。いま、半直線OAに向かって線分OXから垂線を引く。交点をX'とする。A,X,X'の位置ベクトルをそれぞれ、'''a''','''x''','''x''''とするとき、'''x''''を'''x'''の'''a'''への''正射影''と言う。
▲'''例5.1'''
点Pから直線lへ垂線を下ろし、足をP'とする。
l:'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub> (5.3)
'''x'''<sub>0</sub>:Pの位置ベクトル,'''x''''<sub>0</sub>:P'の位置ベクトル
と定義して、||'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>||を求めよう。
(5.3)について、'''x'''='''x''''<sub>0</sub>を代入し、変形すると、
<math>\mathbf{x'}_0=\mathbf{a}{(\mathbf{a},\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1)\over
(\mathbf{a},\mathbf{a})}+\mathbf{x}_1</math> (5.4)
ここは躓きやすいところなので解説を加える。aと'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>の交角をθとする。
<math>
{(\mathbf{a},\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1)\over (\mathbf{a},\mathbf{a})}
={{||\mathbf{a}||||\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1||\cos \theta}\over {||\mathbf{a}||^2}}
</math>
<math>={{||\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1||\cos \theta}\over {||\mathbf{a}||}}</math> (5.5)
(5.5)右辺の分母は、'''a'''の長さ、分子は、'''x'''<sub>0</sub>-'''x'''<sub>1</sub>の'''a'''への正射影('''x''''<sub>0</sub>-'''x'''<sub>1</sub>)の長さである。すると、(5.4)右辺第一項は'''x''''<sub>0</sub>-'''x'''<sub>1</sub>となる。'''x'''<sub>0</sub>は'''x''''<sub>0</sub>-'''x'''<sub>1</sub>と,'''x'''<sub>1</sub>との和であることは自明の理である。
ゆえに求める最短距離||'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>||は、
:<math>||\mathbf{x}_0-\mathbf{x}'_0||={{\sqrt{||\mathbf{a}||^2
||\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1||^2-(\mathbf{a},\mathbf{x}_0-\mathbf{x}_1)^2}}\over {||\mathbf{a}||}}</math>
と計算される。空間内の直線についても、同じ事である。
'''演習'''
1.例5.1で||'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>||を実際に計算せよ。
2.例5.1でl:('''b''','''x''')=cとして||'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>||を求めよ。
3.
:空間内の平面の場合についても同様に考えられる。
:F:ax+by+cz=d
:を平行移動し、原点を通る平面
:F<sub>0</sub>:ax+by+cz=0
:<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\\
\end{pmatrix}</math> <math>\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}</math>とすれば、
:F:('''a''','''x''')=d
:F<sub>0</sub>:('''a''','''x''')=0
:であるから、'''a'''はF<sub>0</sub>故にFと垂直である。この時'''a'''をF<sub>0<sub>の法線ベクトルと言う。
:さて、F上に無い点Pから、Fに垂線を下ろす。垂線の足をP'とする。
:'''x'''<sub>0</sub>:Pの位置ベクトル,'''x''''<sub>0</sub>:P'の位置ベクトル
:とするとき、||'''x'''<sub>0</sub>-'''x''''<sub>0</sub>||を求めよ。
4.
:平面Fの法線ベクトル'''a'''と平面F'の法線ベクトル'''a''''の交角を平面Fと平面F'の交角と言う
:F:x+2y+2z=3
:F':3x+3y=1
:の交角を求めよ。
==線型変換==
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