「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

編集の要約なし
(R^3変換起草)
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の事である。n次元ベクトルを総じて''ベクトル''という。
<math>a_1,a_2,,,a_n</math>は、ベクトル'''a'''の''要素''または''成分''(element)と呼ばれていて、成分がすべて実数のベクトルを特に''実ベクトル''と言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを特に''複素ベクトル''と言う。また、成分が全て0のベクトルを''零ベクトル''といい、'''o'''と書く。
 
 
二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間<math>(R^2)</math>、三次元空間<math>(R^3)</math>内の、大きさと方向を持った量を表すものと見ることもできる。これは空間の図の中に矢印を書いて表すこともあり、このベクトルを特に''空間ベクトル''と言う。原点を起点とする空間ベクトルの行き先の点は、このベクトルによって一意に表すことができる。これをこの点の''位置ベクトル''という。
 
===相等関係===
次元の同じ2つのベクトルがあるとき、この2つのベクトルが同じであるということを、すべての成分が同じであることと定義する。すなわち、
'''a'''='''b'''⇔a_i=b_i(∀i∈{1,2,...,n})
 
== ノルム ==
 
とする。
 
===相等関係===
 
'''a'''='''b'''
⇔a_i=b_i(∀i∈{1,2,...,n})
 
=== 和・差 ===
内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
 
*'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0<ref>なす角について述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。</ref>
*'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0
*c('''a''','''b''')=(c'''a''','''b''')=('''a''',c'''b''')
*('''a''','''b'''+'''c''')=('''a''','''b''')+('''a''','''c''')
*||'''a'''||+||'''b'''||≧||'''a'''+'''b'''||(三角不等式)
*|('''a''','''b''')|≦||'''a'''||||'''b'''||(シュワルツの不等式)
 
</references>
 
'''演習'''
以後、特に空間ベクトルについて議論する。
 
一般まずは、二次元空間上の直線を、平面ベクトルの式で表助変数を用いて現うなとを考える。
 
*'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>0</sub>           (4.1)
 
<math>\mathbf{x}=
x\\
y\\
\end{pmatrix}</math>,
<math>\mathbf{a}=
 
<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}</math>,
<math>\mathbf{x}_0=
 
<math>\mathbf{x}_0=
\begin{pmatrix}
x_0\\
y_0x_0\\
\end{pmatrix}</math>
 
とすると、一般の直線は下の式で表される。
 
*'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>0</sub>           (4.1)
 
成分を用いて書けば、
<math>
\begin{pmatrix}
y_0\\
\end{pmatrix}</math>
である。
これをよく見てみると、うえで定義したベクトルの演算から、
成分を用いた式を見れば、この表示によって直線が表されることの妥当性が理解しやすいだろう。
<math>
x=at+x_0
 
上に挙げた式を直線の助変数表示またはベクトル表示という。
y=bt+y_0
もちろん助変数表示の仕方は一つではないが、'''a'''はノルム1のものを選ぶと便利な事も多い。
</math>
という構造が見えてくる。これは、単に直線の[[高等学校数学C 式と曲線|媒介変数表示]]である。式①を''助変数表示''または、''ベクトル表示''と言う。勿論助変数表示の仕方は、一つではない。しかし、一般に'''a'''はノルム1のものを選ぶと便利な事が多い。三次元においても同様である。
 
'''例題'''
 
===空間内の直線===
平面内の直線は
 
:<math>ax+by+c=0</math>
グラフを描いてみれば分かるとおり、空間内の曲線は一本の式では表すことができない。
という式で表された。しかし、空間において
一本の式で表せるのは、曲面だけであるである。曲線は、二曲面の交線として、表される。
:<math>ax+by+cz+d=0</math>
直線は特に、二平面の交線である。平面の式は、平面内の直線と同じく、一次方程式で表される。
という式の表す図形は平面である。直線は2つの平行でない平面の共通部分として表される。式で書けば、
つまり、空間内の一般の直線は、次のように表される。
:<math>\left\{ \begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \end{matrix}\right.</math>
 
となる。この式が表す直線をベクトル表示することを考えよう。連立方程式を解く要領で
<math>\left\{ \begin{matrix} a_1x+b_1y+c_1z=d_1 \\ a_2x+b_2y+c_2z=d_2 \end{matrix}\right.</math>
:<math>\left\{\begin{matrix} y=\alpha_1x+x_1 \\ z=\alpha_2x+x_2 \end{matrix}\right.</math>
 
(但し,<math>\alpha_1,\alpha_2,x_1,x_2</math>は定数)
方法論的にはxにtを代入し、y,zの値を求める。
と書けることはすぐわかる。この式は、形式的にはxをtと置き換えることで、下のように書ける。
 
:<math>\left\mathbf{x}=\beginmathbf{matrixa} y=A_1tt+x_1 \\ z=A_2t+x_2 \endmathbf{matrixx}\right._1</math>
これが空間内の直線の助変数表示である。
(但し,A<sub>1</sub>,A<sub>2</sub>,x<sub>1</sub>,x<sub>2</sub>は定数)
 
と書けることは自明である。この式は、下の形にできる
 
<math>\mathbf{x}=\mathbf{a}t+\mathbf{x}_1</math>
 
と書ける。これこそが、空間内の直線の助変数表字である。驚くべきことに式が増えたのにも関わらず平面内と同じく、
助変数表字では、式は一本である。
 
'''例題'''
<math>\left\{ \begin{matrix} x+2y+3z=4 \\ 5x+6y+7z=8 \end{matrix}\right.</math>
 
を助変数表にせよ。
 
:x=tとすると、
===空間内の平面===
 
前述のとおり、空間内の平面はax+by+cz=dであらわせる。今度は2つの助変数s,tを導入することで、同様にして
:<math>\mathbf{x}=
 
方法論的には今度は変数がtだけでは足りないので、もう一つsを代入する。x=t,y=sである。すると、
 
<math>z=-{a\over c}t-{b\over c}s+{d\over c}</math>
 
とやって、下の形へ持っていくことになる。
 
そして、一般に
 
<math>\mathbf{x}=
\mathbf{a}t+
\mathbf{b}s+
\mathbf{c}</math>
と表せる。これを平面の助変数表示とう。
 
平面の助変数表示と言う。
 
'''例題'''
 
*2a+b+3c=5を助変数表にせよ。
 
:a=t,b=sとすると、
'''演習'''
 
1.2x-y+3z=1を助変数表にせよ
 
2.
 
===まとめ===
 
右の図は、読者の理解を助けるであろう。
 
1.平面上の直線のベクトル表示
:t<sub>1</sub>'''p'''+t<sub>2</sub>'''q''', t<sub>1</sub>+t<sub>2</sub>=1, t<sub>1</sub>,t<sub>2</sub>≧0
 
:の形で表される。これを証明せよ
 
2.
:t<sub>1</sub>'''x'''<sub>1</sub>+t<sub>2</sub>'''x'''<sub>2</sub>+t<sub>3</sub>'''x'''<sub>3</sub>, t<sub>1</sub>+t<sub>2</sub>+t<sub>3</sub>=1, t<sub>1</sub>,t<sub>2</sub>,t<sub>3</sub>≧0
 
と表される。これを証明せよ
 
==法線ベクトル==
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