「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
 
*('''a''','''a''')=||a||^<sup>2</sup>
*'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0<ref>なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。</ref>
*c('''a''','''b''')=(c'''a''','''b''')=('''a''',c'''b''')
で与えられる。
 
まずは'''x'''_0<sub>0</sub>を他のベクトルを用いて表そう。P'はl上の点なので、'''x'''='''x'''<sub>0</sub>をlの式に代入すると
:'''x_0x<sub>0</sub>'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>
:'''p'''-'''x_0x<sub>0</sub>'''='''p'''-'''a'''t-'''x'''<sub>1</sub>
となる。このベクトルが'''a'''と直交するので
:('''a''','''p'''-'''x_0x<sub>0</sub>''')=('''a''','''p''')-|('''a'''|<sup>2</sup>,'''a''')t-('''a''','''x'''<sub>1</sub>)=0
:<math>t=\frac{(\mathbf{a},\mathbf{p})-(\mathbf{a},\mathbf{x}_1)}{|(\mathbf{a}|^2,\mathbf{a})}</math>
これを代入して
:<math>\mathbf{x}_0=\mathbf{a}{(\mathbf{a},\mathbf{p}-\mathbf{x}_1)\over (\mathbf{a},\mathbf{a})}+\mathbf{x}_1</math>
 
単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。(その理由は別のところで述べる)
 
<math>T\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
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