「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

編集の要約なし
 (1)T<sup>2</sup>=T (2)TS=ST=O (3)任意の'''x'''にたいし、T'''x'''+S'''x'''='''x'''
 
==ベクトル積==
 
===二次の行列式===
 
定義(7.1)
 
<math>A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a\\
c\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
b\\
d\\
\end{pmatrix}</math>
の時、
 
<math>|A|=
\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d
\end{vmatrix}=\det A=\det(\mathbf{a},\mathbf{b})
=ad-bc</math>をAの行列式という。
 
次の性質は簡単に証明できる。
 
'''a''','''b'''が線形独立⇔det('''a''','''b''')≠0
 
det('''a''','''b''')=-det('''b''','''a''')
 
det('''a'''+'''b''','''c''')=det('''a''','''c''')+det('''b''','''c''')
 
det(c'''a''','''b''')=det('''a''',c'''b''')=cdet('''a''','''b''')
 
|AB|=|A||B|
 
ここで、'''a''','''b'''が線形独立とは、'''a''','''b'''が平行でないことを表す。
 
===平行四辺形の面積===
 
関係ないと思うかもしれないが、外積の定義に必要な情報である。
 
'''a'''と'''b'''の張る平行四辺形の面積を求める。二ベクトルの交角をθとする。
 
'''b'''を底辺においたとき、高さは||'''a'''||sinθなので、求める面積Sは
 
S=||'''a'''||||'''b'''||sinθ
 
⇔S<sup>2</sup>=||'''a'''||<sup>2</sup>||'''b'''||<sup>2</sup>
-||'''a'''||<sup>2</sup>||'''b'''||<sup>2</sup>cos<sulp>2</sup>θ
 
       =||'''a'''||<sup>2</sup>||'''b'''||<sup>2</sup>-('''a''','''b''')<sup>2</sup>
 
よって、
 
<math>S=\sqrt {||\mathbf{a}||^2||\mathbf{b}||^2-(\mathbf{a},\mathbf{b})^2}</math>      (7.1)
 
'''演習'''
 
<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{a}'=\begin{pmatrix}
a'\\
b'\\
\end{pmatrix}</math>
 
とすれば、<math>S=|\begin{vmatrix}
a & a'\\
b & b'\\
\end{vmatrix}|</math>.
 
これを証明せよ。
 
===外積===
 
内積が有るなら外積もあるのでは?と思った読者待望の部ではないだろうか。(余談)
 
定義(7.2)
 
'''c'''は次の4条件を満たすとき、'''a''','''b'''の外積、或はベクトル積と呼ばれ,'''a'''×'''b'''='''c'''と表記される。
 
 (i)'''a''','''b'''と直交する。
 
 (ii)'''a''','''b'''は線形独立
 
 (iii)'''a''','''b''','''c'''は右手系をなす。
 
 (iv)||'''c'''||が平行四辺形の面積
 
ここで、右手系とは、R<sup>3</sup>の単位ベクトル'''e'''<sub>1〜3</sub>が各々右手の親指、人差指、中指の上にある三次元座標系のことである。
 
 
定理(7.3)
 
 右手座標系で、
 
 <math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
a'\\
b'\\
c'\\
\end{pmatrix}</math>
 
とすると、
 
<math>\mathbf{c}=\mathbf{a} \times \mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
\begin{vmatrix}
b & b'\\
c & c'
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
a & a'\\
c & c'
\end{vmatrix}\\
\begin{vmatrix}
a & a'\\
b & b'
\end{vmatrix}\\
\end{pmatrix}</math>     (7.2)
 
(証明)
 
三段構成でいく。''
 
(i)'''c'''と、'''a'''と'''b'''と直交することを示す。要するに、
('''c''','''b''')=0且('''c''','''a''')=0を示す。
 
(ii)||'''c'''||が平行四辺形の面積Sであることをを証明。
 
(iii)'''c''','''a''','''b'''が、右手座標系であることを証明。
 
 
(i)は計算するだけなので演習とする。
 
(ii)
 
   ||'''c'''||<sup>2</sup>=(bc'-b'c)<sup>2</sup>+(ac'-a'c)<sup>2</sup>+(bc'-b'c)<sup>2</sup>
 
             
   =(a<sup>2</sup>+b<sup>2</sup>+c<sup>2</sup>)(a'<sup>2</sup>+b'<sup>2</sup>+c'<sup>2</sup>)-(a
a'+bb'+cc')<sup>2</sup>=||'''a'''||^2||'''b'''||^2-('''a''','''b''')^2
 
   ||'''c'''||≧0より、式(7.1)から、
 
   <math>||\mathbf{c}||=\sqrt {||\mathbf{a}||^2||\mathbf{b}||^2-(\mathbf{a},\mathbf{b})^2}=S</math>
 
(iii)
 
   '''a'''='''e'''<sub>1</sub>, '''b'''='''e'''<sub>2</sub>ならば、式(7.2)は両辺とも'''e'''<sub>3</sub>である。'''e'''<sub>1</sub>,'''e'''<sub>2</sub>を、線形独立性を崩さずに移すと、
'''a''','''b''','''c'''は右手系のまま移る。もし、左手系なら、その瞬間||'''c'''||=0となり、([[中間値の定理]])'''a'''、'''b'''は平行になるから、線形独立が崩れたことになる。           #
 
 
外積に関して、次の性質が成り立つ。
 
'''a'''×'''b'''=-'''b'''×'''a'''  c('''a'''×'''b''')=c'''a'''×'''b'''='''a'''×c'''b'''
 
'''a'''×('''b<sub>1</sub>'''+'''b<sub>2</sub>''')=
'''a'''×'''b<sub>1</sub>'''+'''a''''''b<sub>2</sub>'''
 
('''a<sub>1</sub>'''+'''a<sub>2</sub>''')×'''b'''=
'''a<sub>1</sub>'''×'''b'''+'''a<sub>2</sub>''''''b'''
 
===三次の行列式===
 
定義(7.4)
 
<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1_2} & a_{1_3}\\
a_{2,1} & a_{2_2} & a_{2_3}\\
a_{3,1} & a_{3_2} & a_{3_3}\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a_{1.1}\\
a_{1,2}\\
a_{1,3}\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{b}=
\begin{pmatrix}
a_{2,1}\\
a_{2,2}\\
a_{2,3}\\
\end{pmatrix}</math>
<math>\mathbf{c}=
\begin{pmatrix}
a_{3,1}\\
a_{3,2}\\
a_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>
の時、
 
<math>|A|=
\begin{vmatrix}
a_{1,1} & a_{1_2} & a_{1_3}\\
a_{2,1} & a_{2_2} & a_{2_3}\\
a_{3,1} & a_{3_2} & a_{3_3}\\
\end{vmatrix}=\det A=\det(\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{c})
=(\mathbf{a} \times \mathbf{b},\mathbf{c})</math> をAの行列式という。
 
二次の時と同様、
 
*'''a''','''b''','''c'''が線形独立⇔det('''a''','''b''','''c''')≠0
 
*'''a''','''b''','''c'''のどれか二つの順序を交換すればdet('''a''','''b''','''c''')の符号は変わる。絶対値は変わらない。
 
*det('''a'''+'''a'''','''b''','''c''')=det('''a''','''b''','''c''')+det('''a''','''b''','''c''')
'''b''','''c'''に関しても同様
 
*det(c'''a''','''b''')=cdet('''a''','''b''')
'''b''','''c'''に関しても同様
 
*|AB|=|A||B|
 
一番下は、大変面倒だが、確かめられる。
 
'''例題'''
 
次の二直線は捩れの位置(同一平面上にない関係)にある。この二直線に共通法線が一本のみあることをしめし、
最短距離も求めよ
 
l:'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>
 
l':'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>2</sub>
 
l.l'上の点P,Qの位置ベクトルを
 
'''p'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>
 
'''q'''='''a'''t+'''x'''<sub>2</sub>
 
PQ
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