「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

外積最後まで
(外積最後まで)
l:'''x'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>
 
l':'''x'''='''ab'''ts+'''x'''<sub>2</sub>
 
l.l'上の点P,Qの位置ベクトルを
'''p'''='''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>
 
'''q'''='''ab'''ts+'''x'''<sub>2</sub>とすると、
 
PQ⊥l,l'⇔('''a''','''p'''-'''q''')=('''b''','''p'''-'''q''')=0
PQ
 
これを式変形して、
 
('''a''','''p'''-'''q''')=
('''a''','''a'''t+'''x'''<sub>1</sub>-'''b'''s-'''x'''<sub>2</sub>)
 
      =('''a''','''a''')t-('''a''','''b''')s+
('''a''','''x'''<sub>1</sub>-'''x'''<sub>2</sub>)=0
 
⇔('''a''','''a''')t-('''a''','''b''')s=('''a''','''x'''<sub>2</sub>-'''x'''<sub>1</sub>     (7.3)
 
同様に、
 
('''b''','''a''')t-('''b''','''b''')s=('''b''','''x'''<sub>2</sub>-'''x'''<sub>1</sub>     (7.4)
 
(7.3),(7.4)をt,sに関する連立一次方程式だと考えると、この方程式は、ちょうど一つの解の組(t<sub>0</sub>,s<sub>0</sub>)が存在する。
 
'''a'''//'''b'''('''a''','''b'''は平行、の意味)'''a''','''b'''≠'''o'''より、
 
<math>\begin{vmatrix}
(\mathbf{a},\mathbf{a}) & -(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
(\mathbf{b},\mathbf{a}) & -(\mathbf{b},\mathbf{b})
\end{vmatrix}=-(||\mathbf{a}) ||^2||\mathbf{b}) ||^2-(\mathbf{a},\mathbf{b})^2}≠0</math>
 
あとは後述する、連立二次方程式の解の公式による。
 
'''a'''t<sub>0</sub>+'''x'''<sub>1</sub>,'''b'''s<sub>0</sub>+'''x'''<sub>2</sub>を位置ベクトルとする点をP<sub>0</sub>,Q<sub>0</sub>とおけば、P<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>が、唯一の共通法線である。
この線分P<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>の長さは、l,l'間の最短距離である。そこで、
 
<math>\mathbf{c}=\overrightarrow{P_0Q_0}</math>
匿名利用者