「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

外積つけたし
(外積最後まで)
(外積つけたし)
<math>a_1,a_2,,,a_n</math>は、ベクトル'''a'''の''要素''または''成分''(element)と呼ばれていて、成分がすべて実数のベクトルを特に''実ベクトル''と言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを特に''複素ベクトル''と言う。また、成分が全て0のベクトルを''零ベクトル''といい、'''o'''と書く。
 
二次元、三次元実ベクトルは、二次元空間<math>(R^2)</math>、三次元空間<math>(R^3)</math>内の、大きさと方向を持った量を表すものと見ることもできる。これは空間の図の中に矢印を書いて表すこともあり、このベクトルを特に''空間ベクトル''と言う。このとき、矢印の棒部を始点、矢部を終点と言う。始点、終点をそれぞれ点P,Qとする空間ベクトルを、<math>\overrightarrow{PQ}</math>と書く。原点を起点とする空間ベクトルの行き先の点は、このベクトルによって一意に表すことができる。これをこの点の''位置ベクトル''という。
 
===相等関係===
<math>\begin{vmatrix}
(\mathbf{a},\mathbf{a}) & -(\mathbf{a},\mathbf{b})\\
(\mathbf{b},\mathbf{a}) & -(\mathbf{b},\mathbf{b})\\
\end{vmatrix}=-([||\mathbf{a}) ||^2||\mathbf{b}) ||^2-(\mathbf{a},\mathbf{b})^2}≠0]</math>≠0
 
 
あとは後述する、連立二次方程式の解の公式による。
この線分P<sub>0</sub>Q<sub>0</sub>の長さは、l,l'間の最短距離である。そこで、
 
<math>\mathbf{c}=\overrightarrow{P_0Q_0}</math>(第一章「ベクトル」参照)
 
P<sub>1</sub>:'''x'''<sub>1</sub>を位置ベクトルとする点
Q<sub>1</sub>:'''x'''<sub>2</sub>の位置ベクトルとする点
 
とすれば、
 
<math>\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1=(\overrightarrow{P_1Q_1})
=(\overrightarrow{P_1P_0})+(\overrightarrow{P_0Q_0})+(\overrightarrow{Q_0Q_1})</math>
 
          =(['''x'''<sub>1</sub>+t<sub>0</sub>'''a''']-[<u>'''x'''<sub>1</sub></u>])
 
 
”P<sub>0</sub>の位置ベクトル↑     ↑P<sub>1</sub>の位置ベクトル”
 
 
         +'''c'''+["'''x'''<sub>1</sub>"-"('''x'''<sub>1</sub>+t<sub>0</sub>'''a''')"]
 
 
”Q<sub>1</sub>の位置ベクトル↑   ↑Q<sub>0</sub>の位置ベクトル”
 
 
='''c'''+t<sub>0</sub>'''a'''-s<sub>0</sub>'''b'''
 
よって、
 
('''c''','''x'''<sub>2</sub>-'x'''<sub>1</sub>)=('''c''','''c''')+t<sub>0</sub>('''c''','''a''')-s<sub>0</sub>('''c''','''b''')
 
'''a''','''b'''と'''c'''が垂直なので、('''b''','''c''')=('''a''','''c''')=0.
 
すなわち、('''c''','''x'''<sub>2</sub>-'''x'''<sub>1</sub>)=('''c''','''c''')
 
'''c'''=k('''a'''×'''b''') (k≠0)
 
'''c'''≠'''o'''より、求める距離||'''c'''||は、
 
<math>||\mathbf{c}||={||\mathbf{c}||^2\over ||\mathbf{c}||}={|(\mathbf{c},\mathbf{c})|\over ||\mathbf{c}||}={|(\mathbf{c},\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)|\over {|k|||\mathbf{a}\times {\mathbf{b}}||}}</math>
 
<math>={{|(\mathbf{a}\times \mathbf{b},\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)|}\over {||k|||\mathbf{a}\times \mathbf{b}||}}={|\det (\mathbf{a},\mathbf{b},\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1)| \over ||\mathbf{a}\times \mathbf{b}||}</math>
 
'''演習'''
 
1.
 
:二元一次連立方程式
 
:<math>\begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}</math>≠0の時、
 
:<math>\begin{cases}
ax+by=c\\
dx+ey=f\\
\end{cases}</math>
 
:の一般解が、
 
:<math>x={\begin{vmatrix}
e & b\\
f & d\\
\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}}</math>, 
<math>y={\begin{vmatrix}
a & e\\
c & f\\
\end{vmatrix}\over \begin{vmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{vmatrix}}</math> である事を示せ
 
2.
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