Wikibooks

「高等学校数学III/微分法」の版間の差分

履歴の双方向閲覧
← 古い編集次の差分 →
削除された内容 追加された内容
ビジュアルウィキテキスト
187 行
導出
 
<!--
<!-- ＞三角関数の加法定理は使っても良いのだろうか?
確かこれは範囲外になったような気がするが...。
し＞確かし、これなしは範囲外に証明なったような気が出来するのだろうかが...。
＞しかし、これなしに証明が出来るのだろうか...。
範囲外にはなってませんよ。
数学2の教科書に載っていました。
-->
 
254 ⟶ 257行目:
</math>
 
====対数関数の導関数====
 
<math>
260 ⟶ 263行目:
</math>
<math>
= \lim_{h \to 0} \frac {\log _a (x+h) - \log _a x} {h}
</math>
<math>
= \lim_{h \to 0} \frac {\log _a \frac ({x+h) }{x} }{h}
</math>
<math>
= \lim_{h \to 0} \frac {\log _a \left( 1+ \frac {h }{x} \right)} {h}
</math>
 
ここで<math>k = /\frac {h }{x}</math>と置くと、
 
<math>
\lim_{h \to 0} \frac {\log _a \left(1+ \frac {h }{x} \right)} {h}
</math>
<math>
=\lim_{k \to 0} \frac {\log _a (1+k)} {xk}
</math>
<math>
=\lim_{k \to 0} \frac {1 }{xk} \log _a (1+k)
</math>
<math>
=\lim_{k \to 0} \frac {1 }{x} \log _a (1+k)^{\frac {1 }{k} }
</math>
 
<math>(1+k)^{\frac 1 k}</math>を0に近づけていくと、
 
<math>1.1^{/\frac {1 }{0.1} }=2.5937424601</math>
 
<math>1.01^{/frac 1 0.01}=2.7048138294215260932671947108075</math>▼
<math>1.00101^{/\frac {1 }{0.00101} }=2.71692393223589245738308812194767048138294215260932671947108075</math>
 
<math>1.0001^{/frac 1 0.0001}=2.7181459268252248640376646749131</math>▼
<math>01.999001^{/\frac {1 -}{0.001} }=2.7196422164428503653975534644047169239322358924573830881219476</math>▼
 
▲<math>1.0001^{/\frac {1 }{0.0001} }=2.7181459268252248640376646749131</math>
 
<math>0.9^{/\frac {1 }{-0.1} }=2.8679719907924413133222572312408</math>▼
 
▲<math>10.0199^{/\frac {1 }{-0.01} }=2.70481382942152609326719471080757319990264290260038466717212578</math>
 
<math>0.99999^{/\frac {1 }{-0.01001} }=2.7319990264290260038466717212578719642216442850365397553464404</math>▼
 
<math>0.9999^{/\frac {1 }{-0.0001} }=2.7184177550104492651837311208356</math>▼
 
▲<math>0.9^{/frac 1 -0.1}=2.8679719907924413133222572312408</math>
▲<math>0.99^{/frac 1 -0.01}=2.7319990264290260038466717212578</math>
▲<math>0.999^{/frac 1 -0.001}=2.719642216442850365397553464404</math>
▲<math>0.9999^{/frac 1 -0.0001}=2.7184177550104492651837311208356</math>
(計算：Windows付属電卓)
 
300 ⟶ 310行目:
この一定の値、すなわち
 
<math>\lim_{k \to 0} (1+k)^{\frac {1}{k} k} = 2.718281828...</math>
 
をeで表す。
310 ⟶ 320行目:
</math>
<math>
=\lim_{k \to 0} \log _a (1+k)^{\frac {1}{k} k}
</math>
<math>
=\lim_{k \to 0} \frac {1 }{x} \log _a e
</math>
 
<math>e^x</math> については、
 
<math>
(e^=\frac{1}{x} )'\log =_a e^x
</math>▼
<math>▼
=\frac{1}{x \log _e a}
</math>
が成り立つが、この証明は難しい。
 
特に<math>a=e</math>のとき、
 
<math>(\log _e x)'=\frac{1}{x}</math>
仮にこれを認めるなら、例えば
 
eを底とする対数を自然対数という。<br>
▲<math>
数学では、<math>\log _e x</math>のeを省略してlog xと書く。<br>
(2^x)' = (e^{x\ln2})' = (e^{x\ln2})(x\ln2)' = \ln2 (e^{x\ln2}) = (\ln2) 2^x
数学以外の分野では、常用対数と区別するために、ln xが用いられることもある。
▲</math>
 
====指数関数の導関数====
が得られる。
 
(注意, ln x は、<math> \log _e x </math> に等しい。)
<math>y=a^x(a>0)</math>
一般に
 
<math>
両辺の自然対数をとると、
(a^x)' = (\ln a) a^x
 
</math>
<math>\log y = x \log a</math>
となる。(aは定数。)
 
両辺をxで微分すると、
 
<math>\frac{y'}{y} = \log a</math>
 
<math>y' = y \log a</math>
 
<math>y' = a^x \log a</math>
対数関数については
 
特にa=eの場合
(ln x )' = 1/x
 
<math>(e^x)' = e^x</math>
となる。
 
==導関数の応用==
"https://ja.wikibooks.org/wiki/高等学校数学III/微分法" より作成