「線型代数学/線型空間」の版間の差分
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'''例''' 実数上の無限回微分可能な実数値関数全体の集合<math>C^\infty(\mathbb{R})</math>は<math>\mathbb{R}</math>線型空間である。
'''例''' <math>\mathbb{R}</math>は<math>\mathbb{Q}</math>線型空間である。より一般に、体の拡大L/Kがあるとき、LはK線型空間である。
'''問''' 上に挙げた例が線型空間の公理を満たすことを確かめよ。
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'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>というVの元の組があるとする。Vの任意の元xに対し<math>x=a_1 x_1+a_2 x_2+ \dots + a_n x_n</math>となるようなKの元の組<math>a_1,a_2,\dots,a_n</math>が唯一つ存在するとき、<math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>はVの基底であるという。
注意すべきなのは、基底
:<math>e'_1=\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0\\ \end{pmatrix},e'_2=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1\\ \end{pmatrix},e'_3=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1\\ \end{pmatrix}</math>
も<math>\mathbb{R}^3</math>の基底である。
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'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>というVの基底が存在するとき、nをVの次元といい、Vはn次元K線型空間であるという。
そのような有限個の元からなる基底が存在しないとき、Vは無限次元であるという。実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる「基底」が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初のK<sup>n</sup>以外は無限次元の線型空間であるが、K[X]には1,X,X<sup>2</sup>,X<sup>3</sup>,...という基底がある。<math>C^\infty(\mathbb{R})</math>の基底や<math>\mathbb{R}</math>の<math>\mathbb{Q}</math>上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。
=== 部分空間 ===
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