「線型代数学/線型空間」の版間の差分
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一般の線型空間においてもこのようなベクトルの組があれば便利である。そのようなものがあるとき、このベクトルの組に特別な名前をつけよう。
'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>
注意すべきなのは、基底は一つの線型空間に対し一組とは限らないということである。たとえば、先ほどの<math>e_1,e_2,e_3</math>も<math>\mathbb{R}^3</math>の基底であるが、一方
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公理3は一見すると公理2から導かれるように見えるが、そうではない。なぜならば、空集合は公理1,2を満たすが、公理3を満たさない。公理3は空集合は部分空間と呼ばないようにするための公理である。
== 線型写像 ==
=== 線型写像の定義 ===
近代的な数学は、ある性質を満たす集合と、その集合たちの間の写像とを調べることを基礎として発展してきた。ここでも、線型空間から線型空間への写像について調べてみる。先ほどと同様にして、どのような写像を調べる対象とするか、公理的に与える。
'''定義''' V,WをK線型空間とする。写像<math>f:V \to W</math>が次の性質を満たすとき、fはK線型写像であるという。
# <math>\forall x,y \in V \ f(x+y)=f(x)+f(y)</math>
# <math>\forall a \in K \forall x \in V \ f(ax)=af(x)</math>
少し例を見てみよう。
'''例''' Aをm×n行列とする。<math>f_A:K^n \to K^m ;x \mapsto Ax</math>は線型写像である。
'''例''' <math>f_0:K[X] \to K ; P(X) \mapsto P(0)</math>は線型写像である。
'''例''' <math>d:C^\infty(\mathbb{R}) \to C^\infty(\mathbb{R}) ; f \mapsto f'</math>（微分）は線型写像である。
'''問''' これらが線形写像であることを確かめよ。
=== kerとim ===
VからWへの線型写像があるとき、その写像に付随して自然にVの部分空間とWの部分空間が定まる。それがここで挙げるkerとimである。
'''定義''' <math>f:V \to W</math>を線型写像とする。
:<math>\ker f = \{ x \in V | f(x)=0 \}</math>をfの核(kernel)という。これはVの部分空間である。
:<math>im f=\{f(x) \in W | x \in V \}</math>をfの像(image)という。これはWの部分空間である。
定義から既に明らかなように、fが全射であるということは、fの像がWと一致することと同値である。単射性については核を用いることで容易に調べることができる。
'''命題''' 線型写像<math>f:V \to W</math>が単射<math>\Leftrightarrow \ker f = \{0\}</math>
=== 行列表示 ===
有限次元線型空間の間の線型写像は、基底をとることにより、有限サイズの行列によって表示することができる。つまり、有限次元線型空間の間の線型写像について調べることは、先ほど例として最初にあげたベクトルの行列倍という線型写像を調べることに帰着できる。
（スタブ）
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