「線型代数学/線型空間」の版間の差分

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== 双対空間 ==
=== 双対空間の定義 ===
線型写像の集合もまた線型空間となる。ここではそのような線型空間を扱うことにする。
 
'''定義''' VからKへの線型写像の全体<math>V^* = \{ f:V \to K | linear \}</math>をVの双対空間という。
 
双対空間は自然な加法とスカラー倍により線型空間となる。
 
双対空間はもとの空間に付随して自然に定まる線型空間である。ゆえに、下で見るようにVの性質をかなり受け継いでいる。
 
=== 双対基底 ===
 
Vの基底をひとつ定めると、その基底に付随してV<sup>*</sup>にも自然に基底が定まる。
 
'''命題''' <math>x_1,\dots,x_n</math>をVの基底とすると、<math>i=1,\dots,n</math>に対して
:<math>f_i(x_j)=\delta_{ij}</math>(クロネッカーのデルタ)
を満たすような<math>f_i \in V^*</math>が一意的に存在し、<math>f_1,\dots,f_n</math>はV<sup>*</sup>の基底となる。
 
このようにして定まるV<sup>*</sup>の基底を<math>x_1,\dots,x_n</math>の双対基底と呼ぶ。
 
=== 双対写像 ===
VからWへの線型写像があるとき、この写像に付随してW<sup>*</sup>からV<sup>*</sup>への線型写像が定まる。(向きが逆になっていることに注意)
 
'''命題''' <math>f:V \to W</math>を線型写像とする。写像<math>f^* : W^* \to V^* ; g \mapsto g \circ f</math>は線型写像である。
 
このようにして定まる写像をfの双対写像と呼ぶ。