「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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微分方程式は、大きく分けて常微分方程式と偏微分方程式に分かれる。常微分方程式とは、一変数関数とその導関数との方程式のことである。偏微分方程式とは、多変数関数とその偏導関数との方程式のことである。ここでは、常微分方程式の解き方について記述する。
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常微分方程式はさらに、方程式が含む導関数が最大で何階なのかということによって分類される。
しばらくはまず、一階微分方程式について見てみよう。
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:<math>y' + f(x)y = g(x) </math>
と書けることである。このように書けないものは一階"非"線形微分方程式という。
=== 一階線形微分方程式 ===
斉次一階線型微分方程式とは、一階線型微分方程式であって、特にg(x)=0であるもののことを言う。
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::<math>{{y'} \over {y}} = -f(x)</math>
:両辺を積分して
::<math>
:両辺をeの肩に掛けて、
::<math>|y| = e^{\int{ - f(x) dx + C_0}}</math>
:右は常に正なので、
::<math>y = Ce^{\int{ - f(x)dx}}</math> (ii)
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:積分する前に戻って、
::<math>{\int_{x_0}^{x} {{y'} \over {y}}\ dx} = {\int_{x_0}^{x} -f(x)\ dx}</math>
::⇔<math>{\rm ln
::⇔<math>{{y} \over {y_0}} = e^{\int_{x_0}^{x} -f(x)\ dx}</math>
::⇔<math>y=y_0e^{\int_{x_0}^{x} -f(x)\ dx }</math>
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'''解'''
:<math>y={3 \over 2}e^{-\int_{0}^{x} \sin t\ dt}={3 \over 2}e^{\cos x-1}</math>
===非斉次一階線型微分方程式===
次に
<math>f'(x)+f(x)g(x)=h(x)</math> (1.1)
を解く。しかし今、我々に出来る事は二つしかない。それは、斉次微分方程式を解くことと、各種式変形を行うことである。これを最大限駆使して解くしかない。具体的な方法としては、(1.1)を斉次微分方程式
<math>y'=\nu(x)</math>
の形に式変形して、これを解くことである。どうするの？と思われる読者は、この方法を見て驚愕するであろうが、(1.3)にある関数i(x)をかけることである。すると、
<math>f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)=h(x)i(x)</math> (1.2)
となるであろう。その関数i(x)とは、
{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)</math> (1.3)
をみたすi(x)でそれは実際に求める事が可能である。(1.3)左辺を次のように変形する。
{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=f'(x)i(x)+f(x)i'(x)=f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)</math>
⇔<math>i'(x)=g(x)i(x)</math>
積分定数を1としてもなんら問題は無いので、
<math>i(x)=e^{\int g(x) dx}</math> (1.4)
さて、(1.2)と(1.3)より、
{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=h(x)i(x)</math> (1.5)
を式変形し、
<math>f(x)i(x)=\int h(x)i(x)dx+C</math>
⇔<math>f(x)={1 \over {i(x)}}(\int h(x)i(x)dx+C)</math>
あとはこれに(1.4)を代入すればいいだけのことである。
初期値問題<math>f'(x)+f(x)g(x)=h(x)</math>, <math>f(x_0)=y_0</math>の解法は、
(1.5)の両辺を積分する際に、
<math>\int_{x_0}^x {f(x)i(x)}' dx=\int_{x_0}^x h(x)i(x) dx</math>
左辺をさらに、
<math>[f(x)i(x)]_{x_0}^x=f(x)i(x)-i{x_0}y_0</math>として、f(x)について解けばよい。
いずれにしろ、非線形微分方程式の解法の手順としては、
i(x)=exp(∫g(x)dx)('''積分因子''')を求める→h(x)にそれを掛け積分する→それをh(x)で割ってy=とする。
となる。
'''例題'''
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