「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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を解く。しかし今、我々に出来る事は二つしかない。それは、斉次微分方程式を解くことと、各種式変形を行うことである。これを最大限駆使して解くしかない。具体的な方法としては、(1.1)を斉次微分方程式
<math>y'=\nu(x)</math> ★
の形に式変形して、これを解くことである。どうするの？と思われる読者は、この方法を見て驚愕するであろうが、(1.3)にある関数i(x)をかけることである。すると、
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{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)</math> (1.3)
をみたすi(x)でそれは実際に求める事が可能である。y=f(x)i(x),ν(x)=h(x)i(x)とすれば★の形に出来ることにちゅういせよ。(1.3)左辺を次のように変形する。
{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=f'(x)i(x)+f(x)i'(x)=f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)</math>
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(1.5)の両辺を積分する際に、
<math>\int_{x_0}^x </math>{<math>f(x)i(x)</math>}<math>' dx=\int_{x_0}^x h(x)i(x) dx</math>
左辺をさらに、
<math>[f(x)i(x)]_{x_0}^x=f(x)i(x)-i({x_0})y_0</math>として、f(x)について解けばよい。
いずれにしろ、非線形微分方程式の解法の手順としては、
i(x)=
となる。
'''例
f'(x)-2xf(x)=x
g(x)=-2xより、積分因子i(x)は、
i(x)=e<sup>∫-2xdx</sup>=e<sup>-x<sup>2</sup></sup>
これを与式の両辺に掛けて
e<sup>-x<sup>2</sup>f(x)-
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