「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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微分方程式は、大きく分けて常微分方程式と偏微分方程式に分かれる。常微分方程式とは、一変数関数とその導関数との方程式のことである。偏微分方程式とは、多変数関数とその偏導関数との方程式のことである。ここでは、常微分方程式の解き方について記述する。
==一階線型微分方程式==
常微分方程式はさらに、方程式が含む導関数が最大で何階なのかということによって分類される。
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一階微分方程式が線型であるとは、
:<math>y' + f(x)y = g(x) </math>
と書けることである。このように書けないものは一階"非"線
▲=== 一階線形微分方程式 ===
斉次一階線型微分方程式とは、一階線型微分方程式であって、特にg(x)=0であるもののことを言う。
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次に
:<math>f'(x)+f(x)g(x)=h(x)</math> (1.1)
:<math>y'=\nu(x)</math> ★
の形に式変形して、これを解く
天下り式であるが、(1.3)にある関数i(x)をかけて
<math>f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)=h(x)i(x)</math> (1.2)▼
▲:<math>f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)=h(x)i(x)</math> (1.2)
とする。ここでi(x)が
{<math>f(x)i(x)</math>}<math>'=f'(x)i(x)+f(x)g(x)i(x)</math> (1.3)▼
をみたすような関数であるとすると、<math>y=f(x)i(x),\nu(x)=h(x)i(x)</math>とすれば★の形に変形できる。
ではそのようなi(x)は存在するのだろうか。具体的に求めてみる。
⇔<math>i'(x)=g(x)i(x)</math>▼
<math>\{f(x)i(x)\}'=f'(x)i(x)+f(x)i'(x)</math>であるから、これを(1.3)に代入すると
:<math>f'(x)i(x)+f(x)i'(x)=
を得る。この微分方程式を解けばよい。定数倍は関係ないので、
さて、(1.2)と(1.3)より、▼
とすればよい。
▲さて、(1.2)と(1.3)より、
<math>f(x)i(x)=\int h(x)i(x)dx+C</math>▼
を得る。これを変形すると
あとはこれに(1.4)を代入すればいいだけのことである。▼
▲:<math>f(x)i(x)=\int h(x)i(x)dx+C</math>
:<math>f(x)={1 \over {i(x)}}(\int h(x)i(x)dx+C)</math>
初期値問題<math>f'(x)+f(x)g(x)=h(x)</math>, <math>f(x_0)=y_0</math>を解くには、(1.5)の両辺を積分する際に定積分とすれば、
:<math>\int_{x_0}^x
を得る。あとはこれをf(x)について解けばよい。
以上、非斉次微分方程式の解法を述べた。手順をまとめると、
▲<math>[f(x)i(x)]_{x_0}^x=f(x)i(x)-i({x_0})y_0</math>として、f(x)について解けばよい。
i(x)=e<sup>∫g(x)dx</sup>('''積分因子''')を求める→h(x)にそれを掛け積分する→それをh(x)で割ってy=とする。
となる。
'''例'''
:f'(x)-2xf(x)=x
を解いてみよう。g(x)=-2xより、積分因子i(x)は、
:i(x)=e<sup>∫-2xdx</sup>=e<sup>-x<sup>2</sup></sup>
これを与式の両辺に掛けて
:<math>e^{-x^2}f'(x)-2xe^{-x^2}f(x)=xe^{-x^2}</math>
:<math>\{e^{-x^2}f(x)\}'=xe^{-x^2}</math>
:<math>e^{-x^2}f(x)=-\frac{e^{-x^2}}{2}</math>
:<math>f(x)=\frac{1}{2}</math>
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