「線型代数学/線型空間」の版間の差分

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:<math>im f=\{f(x) \in W | x \in V \}</math>をfの像(image)という。これはWの部分空間である。
 
定義から既すぐ明らなようにることとしてまずfが全射であるということは、fの像がWと一致することと同値である。単射性については核を用いることで容易に調べることができる。
 
また、任意の線型写像の核は0を含む。なぜならば、fを線型写像とすると<math>f(0)=f(x-x)=f(x)-f(x)=0</math>である。線型写像が単射であることは、核が0のほかに元を持たないことと同値である。
 
'''命題''' 線型写像<math>f:V \to W</math>が単射<math>\Leftrightarrow \ker f = \{0\}</math>
:(証明)
:<math>\ker f</math>に0でない元yがあると仮定すると、<math>f(0)=0</math>かつ<math>f(y)=0</math>であり、fは単射でない。
:逆に、<math>\ker f=\{0\}</math>と仮定する。<math>f(x)=f(x')</math>とすると<math>f(x)-f(x')=0</math>であり、fは線型写像なので<math>f(x-x')=0</math>である。<math>\ker f=\{0\}</math>と仮定したので<math>x-x'=0</math>、すなわち<math>x=x'</math>である。よってfは単射である。□
 
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