「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分

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線型方程式演習追加
124 行
g(x)=-2xより、積分因子i(x)は、
 
:i(x)=e<sup>∫-2xdx</sup>=e<sup>-x<sup>2</sup></sup>
 
これを与式右辺に掛けて
 
:{f(x)e<sup>-x<sup>2</sup></sup>}'=e<sup>-x<sup>2</sup></sup>x  (1.6)
 
:<math>\begin{align}
f(x)e<sup>-x<sup>2</sup></sup>=∫e<sup>-x<sup>2</sup></sup>xdx
f(x)e^{-x^2}&=\int e^{-x^2}xdx \\
∴<math>f(x)&=-{x1\over 2}+Cee^{-x^2}</math>+C \\
\end{align}</math>
 
<math>f(x)=-{1\over 2}xe+Ce^{-x^2}+C</math>
 
∴<math>f(x)=-{x\over 2}+Ce^{x^2}</math>
 
'''例題'''
 
上の例の方程式を満たし、f(1)=2を満たすfを求めよ。
 
(1.6)を積分するときに定積分にする。
 
:<math>\int_1^x </math>{<math>f(t)e^{-t^2}</math>}<math>'dt=\int_1^x e^{-t^2}tdt</math>
:<math>[f(t)e^{-t^2}]_1^x=[-{1\over 2}tee^{-t^2}]_1^x</math>
:<math>f(x)e^{-x^2}-2e^{-1}=-{1\over 2}xee^{-x^2}-+{1\over 2}e^{-1}</math>
:<math>f(x)e^{-x^2}=-{1\over 2}xee^{-x^2}+{35\over 2}e^{-1}</math>
 
∴<math>f(x)=-{1\over 2}x+{35\over 2}e^{-x^2-1}</math>
として、
 
<math>[f(t)e^{-t^2}]_1^x=[-{1\over 2}te^{-t^2}]_1^x</math>
 
⇔<math>f(x)e^{-x^2}-2e^{-1}=-{1\over 2}xe^{-x^2}-{1\over 2}e^{-1}</math>
 
<math>f(x)e^{-x^2}=-{1\over 2}xe^{-x^2}+{3\over 2}e^{-1}</math>
 
∴<math>f(x)=-{1\over 2}x+{3\over 2}e^{x^2-1}</math>
 
 
非斉次微分方程式も∫をはずせないときがある。
 
線型微分方程式の演習を一気にやろう。
 
'''演習'''
163 ⟶ 154行目:
次の方程式を解け
 
#<math>f'(x)+f(x)\cos x=0</math>
#<math>f'(x)+f(x)\sqrt{ x^2+1}e^- \sin x=0</math>
 
#<math>f'(x)+f(x){{2x}\sqrtover {x^2+1}}={1 \sinover {x=0^2+1}}</math>
#<math>f'(x)+xff(x)=xe^x+1</math>
 
#<math>f'(x)+f(x){{2x}\over {x^2+1}}={1 \over {x^2+1}}</math>
#<math>f'(x)+2ff(x)={1x \over {x^2+1}}=1-{x^3 \over {x^4+1}}f(x)</math>
 
#<math>f'(x)+f(x)=xe^\sqrt{x^2+1}=0,f(0)=\sqrt 5</math>
#<math>f'(x)+f(x)\sqrt{x^2+1}e^-x=0,f(0)=1</math>
 
#<math>f'(x)+f(x)\sqrt{x^2=+1}e^-x=0,f(0)=0</math>
#<math>f'(x)-2xf(x)=x,f(0)=1</math>
 
#<math>f'(x)+fxf(x){=x \over {x^2+1}}=1-,f({x^3 \over {x^4+12}}f(x)=0</math>
#<math>f'(x)+2f(x)={31 \over {x^2+1}},f(1)=02</math>
 
#<math>f'(x)+f-2xf(x)\sqrt{x^2+1}=x,f(0)=1</math>
#<math>(x^2+1)f'(0x)+xf(x)=(x^2+1)^{5 \sqrtover 52}</math>
#<math>(x^2+1)f'(x)+3xf(x)=(x^2+1)^{5 \over 2},f(1)={1 \over 3}</math>
 
<math>f'(x)+f(x)\sqrt{x^2+1}e^-x=0</math>
<math>f(0)=1</math>
 
<math>f'(x)+f(x)\sqrt{x^2+1}e^-x=0</math>
<math>f(0)=0</math>
 
<math>f'(x)-2xf(x)=x</math>
<math>f(0)=1</math>
 
<math>f'(x)+xf(x)=x+1</math>
<math>f({3 \over 2})=0</math>
 
<math>f'(x)+2f(x)={1 \over {x^2+1}}</math>
<math>f(1)=2</math>
 
<math>f'(x)-2xf(x)=x</math>
<math>f(0)=1</math>
 
<math>(x^2+1)f'(x)+xf(x)=(x^2+1)^{5 \over 2}</math>
 
<math>(x^2+1)f'(x)+3xf(x)=(x^2+1)^{5 \over 2}</math>
<math>f(1)={1 \over 3}</math>
 
==原子核の崩壊速度==