「集合論」の版間の差分

この定理を用いて、自然数の集合<math>\mathbb{N}</math>と、有理数の集合<math>\mathbb{Q}</math>が対等であることを示してみよう。<math>\mathbb{N}</math>から<math>\mathbb{Q}</math>へは自明な単射が存在するから、逆向きの単射を作ればよい。<math>\mathbb{Q}</math>から<math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>への単射は容易に作れるので、結局<math>\mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>から<math>\mathbb{N}</math>への単射を作ればよい。<math>(a,b) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N}</math>に対して<math>f((a,b))=2^{a-1}(2b-1)</math>と定めると、これは<math>\mathbb{N}</math>への単射である。したがって、これらを合成すると<math>\mathbb{Q}</math>から<math>\mathbb{N}</math>への単射が構成でき、Bernsteinの定理より<math>\mathbb{N}</math>と<math>\mathbb{Q}</math>は対等である。

 

 

=== 有限集合・可算集合・非可算集合 ===