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「高等学校数学III/微分法」の版間の差分

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6 行
=== 関数の和、差、積、商の導関数 ===
 
====和の導関数====
 
<math>
( f + g )' = f' + g'
</math>
 
導出
 
{|
|-
|<math>( f + g )'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) + g (x+h) - (f(x) + g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x) + g (x+h) - g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x)} h + \frac { g (x+h) - g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>= f' + g'</math>
|}
 
====実数倍の導関数====
<math>
(af)' = af'
16 ⟶ 34行目:
(aは定数)
 
導出
 
{|
|-
|<math>(af)'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {af(x+h) - af(x) } h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} a \frac {f(x+h) - f(x) } h</math>
|-
|
|<math>=a \lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) - f(x) } h</math>
|-
|
|<math>=af'</math>
|}
 
====積の導関数====
<math>
( f g)' = f'g + fg'
</math>
 
<math>
( \frac 1 f)' = - \frac {f ' } {f^2}
</math>
 
 
が成り立つ。
導出
 
{|
和
|-
|<math>( f g)'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) g (x+h) - (f(x) g (x))]} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) g (x+h) -f(x+h) g (x) + f(x+h) g (x) - f(x) g (x)} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) (g (x+h) - g (x)) + g (x) (f(x+h)
- f(x))} h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) (g (x+h) - g (x))} h + \frac {g (x) (f(x+h)- f(x))} h</math>
|}
 
ここで、<math>\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h) =f(x)</math>に注意すると、
<math>
( f + g )'
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) + g (x+h) - (f(x) + g (x))]} h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x) + g (x+h) - g (x))]} h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {[f(x+h) - f(x)} h + \frac { g (x+h) - g (x))]} h
</math>
<math>
= f' + g'
</math>
 
{|
|-
|<math>( f g)'</math>
|<math>= f'g + fg'</math>
|}
 
====商の導関数====
実数倍
 
<math>
( \frac 1 f)' = - \frac {f ' } {f^2}
(af)'
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {af(x+h) - af(x) } h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} a \frac {f(x+h) - f(x) } h
</math>
<math>
=af'
</math>
 
導出
 
{|
積
|-
|<math>( \frac 1 f)'</math>
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {1/f(x+h) - 1/f(x) } h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\frac {f(x)-f(x+h)}{f(x+h)f(x)} } h</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} \frac 1 { f(x+h)f(x)} \frac {f(x)-f(x+h)}{h}</math>
|-
|
|<math>=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac 1 { f(x+h)f(x)} \frac {f(x+h)-f(x)}{h}</math>
|-
|
|<math> = - \frac {f'} {f^2}</math>
|}
 
また、これと積の導関数より、次の公式が導かれる。
<math>
( f g)'
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0}
\frac {[f(x+h) g (x+h) - (f(x) g (x))]} h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) g (x+h) -f(x+h) g (x) + f(x+h) g (x)
- f(x) g (x)} h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) (g (x+h) - g (x)) + g (x) (f(x+h)
- f(x))} h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {f(x+h) (g (x+h) - g (x))} h + \frac {g (x) (f(x+h)
- f(x))} h
</math>
(
<math>
\lim_{h\rightarrow 0} f(x+h) =f(x)
</math>
に注意すると、)
<math>
= f'g + fg'
</math>
 
商
 
 
<math>
( \frac 1 f)'
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {1/f(x+h) - 1/f(x) } h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac {\frac {f(x)-f(x+h)}{f(x+h)f(x)} } h
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} \frac 1 { f(x+h)f(x)} \frac {f(x)-f(x+h)}{h}
</math>
<math>
=\lim_{h\rightarrow 0} -\frac 1 { f(x+h)f(x)} \frac {f(x+h)-f(x)}{h}
</math>
<math>
= - \frac {f'} {f^2}
</math>
 
<math>( \frac g f)' = \frac {g'f - gf' } {f^2}</math>
 
導出
 
{|
|-
|<math>( \frac g f)'</math>
|<math>=( g \frac 1 f)'</math>
|-
|
|<math>= g' \frac{1}{f} + g ( \frac 1 f)'</math>
|-
|
|<math>= \frac{g'}{f} - g \frac{f'}{f^2}</math>
|-
|
|<math>= \frac{g'f}{f^2} - \frac{gf'}{f^2}</math>
|-
|
|<math>= \frac {g'f - gf' } {f^2}</math>
|}
 
note: maxima は微分法をサポートする。
"https://ja.wikibooks.org/wiki/高等学校数学III/微分法" より作成