「線型代数学/線型空間」の版間の差分

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有限次元線型空間の間の線型写像は、基底をとることにより、有限サイズの行列によって表示することができる。つまり、有限次元線型空間の間の線型写像について調べることは、先ほど例として最初にあげたベクトルの行列倍という線型写像を調べることに帰着できる。
 
まず、線型写像は基底の行き先を決めることによって決まることを示しておく。
(スタブ)
 
'''命題''' V,WをK線型空間とし、<math>x_1,x_1,\dots,x_n</math>をVの基底、<math>y_1,y_2,\dots,y_n</math>をWの元とする。このとき、線型写像<math>f:V \to W</math>であって、<math>f(x_i)=y_i \ (1 \le \forall i \le n)</math>を満たすものが唯ひとつ存在する。
:(証明)
:Vの任意の元は<math>a_1,a_2,\dots,a_n \in K</math>を用いて<math>a_1 x_1+a_2 x_2+\dots+a_n x_n</math>と一意に表せる。ここで写像<math>f:V \to W</math>を
::<math>f(a_1 x_1+a_2 x_2+\dots+a_n x_n)=a_1 y_1+a_2 y_2+\dots+a_n y_n</math>
:で定めれば、確かに条件を満たす線型写像となっている。逆に、<math>f:V \to W</math>が条件を満たす線型写像であるとすると、線型写像の公理から
::<math>f(a_1 x_1+a_2 x_2+\dots+a_n x_n)=a_1 f(x_1)+a_2 f(x_2)+\dots+a_n f(x_n)=a_1 y_1+a_2 y_2+\dots+a_n y_n</math>
:となって、先の写像と一致する。□
 
この命題によって、次のような行列と線型写像とが1対1に対応することがわかる。
 
'''定義''' V,WをK線型空間とし、<math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>をVの基底、<math>y_1,y_1,\dots,y_m</math>をWの基底とする。線型写像<math>f:V \to W</math>が
::<math>f(x_j)=a_{1j} y_1+a_{2j} y_2+\dots+a_{mj} y_m \ (1 \le \forall i \le n)</math>
:を満たすとき、行列<math>A=(a_{ij})</math>をfの行列表示という。
 
== 双対空間 ==