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線形代数学 小行列式 2007年5月21日 (月) 10:39 (UTC) より移動・統合。 執筆者:T.Uesugi, 221.184.101.6 |
線形代数学 行列式の展開 2007年5月21日 (月) 10:47 (UTC)より移動・統合。 執筆者: T.Uesugi, 221.184.101.6 |
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158 行
m行とr列を除いて得られる(n-1)*(n-1)行列の行列式を、
行列Aのm行r列に関する小行列式と呼ぶ。
==行列式の展開==
行列式の計算を簡単に行なうため、
式の展開を導入する。
<math>
A =
\begin{pmatrix}
a _{11} & \cdots & a _{1n} \\
\cdots & \cdots & \cdots \\
a _{n1} & \cdots & a _{nn}
\end{pmatrix}
</math>
に対して、
<math>
\det A = \sum _{k = 1} ^n (-1) ^{m+k} a _{mk} b _{mk}
</math>、または
<math>
\det A = \sum _{k = 1} ^n (-1) ^{r+k} a _{kr} b _{kr}
</math>
が成り立つ。
ここで、
<math>
b _{mk}
</math>
は、
m行k列に関する行列Aの小行列式である。
導出
例えば、n*nの行列式において
mk項を含む値は、
他に、m行または、k列に含まれる項を含んでいてはならない。
(これは、行列式に含まれる値がそれぞれn個の整数の置換であり、
その中でm行またはk列を表わす数は、1度しか含まれていないことによる。)
またそれ以外の項は、全体の置換が隅置換であったら前の符合が1になるように、
奇置換であったら前の符合が-1になるように計算されるが、
これはまさしく、m行とk列を除いた(n-1)*(n-1)行列の行列式、
すなわちm行k列に関する行列Aの小行列式 に
他ならない。
同様の考察を行列中の他の項についても繰りかえすと、
行列式の展開の式を得る。
例えば、3行3列の行列式の計算を行なうとき、
行列式の展開を使うと、
<math>
\det
\begin{pmatrix}
a&b&c\\
d&e&f\\
k&j&i
\end{pmatrix}
= a
\det
\begin{pmatrix}
e&f\\
j&i
\end{pmatrix}
- b
\det
\begin{pmatrix}
d&f\\
k&i
\end{pmatrix}
+c
\det
\begin{pmatrix}
d&e\\
k&j
\end{pmatrix}
</math>
となり、2次の行列の行列式の計算に帰着する。
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