「線型代数学/行列の基本変形」の版間の差分
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==基本行列==
定義：以下の3種の行列,P(i,j),Q(i;c),R(i,j;c)∈M(n;''K'')を基本行列という。
:<math>
43 行
& & & & & & 1\\
\end{pmatrix}
(
</math>
: （n次単位行列の第i行、第j列をCに置き換えたもの）
63 行
実際、
:<math> \ P(i,j)P(i,j)=I_n </math>
</math>
である。▼
==階数==
▲である。
定理: <math> \forall A \in M(m,n;\bold K) </math> は基本変形によって以下の形にできる。
:<math>
\begin{pmatrix}
I_r & 0_{n-r,r}\\
0_{m-r,r} & 0_{m-r,n-r}\\
\end{pmatrix} </math>
このとき、rを行列Aの階数といい、
:<math> \ r=rank(A) </math>
などと書く。
（証明）
<math> \ A=0_{m,n} </math>のときは上の形になっている。
以下、<math> \ A \neq 0_{m,n} </math> とする。
今、<math> \ a_{i,j} \neq 0 </math> としても一般性は失われない。
まず、<math> \ R(k,j;-a_{k,j}/a_{i,j}) (1 \leq k \leq j-1,j+1 \leq k \leq m) </math> を左からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
& & & 0 & & &\\
& & & \vdots & & &\\
& & & 0 & & &\\
a_{i,1}& \cdots & a_{i,j-1} & a_{i,j} & a_{i,j+1} & \cdots & a_{i,n}\\
& & & 0 & & &\\
& & & \vdots & & &\\
& & & 0 & & &\\
\end{pmatrix} </math>
となる。
次に、<math> \ R(i,l;-a_{i,l}/a_{i,j}) (1 \leq l \leq i-1, i+1 \leq l \leq n) </math> を右からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
& & & 0 & & &\\
& & & \vdots & & &\\
& & & 0 & & &\\
0 & \cdots & 0 & a_{i,j} & 0 & \cdots & 0 \\
& & & 0 & & &\\
& & & \vdots & & &\\
& & & 0 & & &\\
\end{pmatrix} </math>
となる。
そして、<math> \ P(1,i) </math> を左から、<math> \ P(1,j) </math> を右からかけ、さらに<math> \ Q(1;1/a_{i,j}) </math> をかければ、
:<math>
\begin{pmatrix}
1 &\\
& B\\
\end{pmatrix}
\ B \in M(m-1,n-1) </math>
となる。<math> B \neq 0 </math> なら上と同じ操作をすれば、帰納的に求めたい形になる□
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