「線型代数学/行列の基本変形」の版間の差分

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74 行
==階数==
定理: <math> \forall A \in M(m,n;\bold K) </math> は基本変形によって以下の形に一意的に変形できる。
:<math>
\begin{pmatrix}
I_r & \bold 0_{n-r,r}\\
\bold 0_{m-r,r} & \bold 0_{m-r,n-r}\\
\end{pmatrix} </math>
 
92 行
今、<math> \ a_{i,j} \neq 0 </math> としても一般性は失われない。
 
まず、<math> \ R(k,j;-a_{k,j}/a_{i,j}) \in M(m;\bold K) (1 \leq k \leq j-1,j+1 \leq k \leq m) </math> を左からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
105 行
となる。
 
次に、<math> \ R(i,l;-a_{i,l}/a_{i,j}) \in M(n;\bold K) (1 \leq l \leq i-1, i+1 \leq l \leq n) </math> を右からかけると
:<math>
\begin{pmatrix}
118 行
となる。
そして、<math> \ P(1,i) \in M(m;\bold K) </math> を左から、<math> \ P(1,j) \in M(n;\bold K)</math> を右からかけ、さらに<math> \ Q(1;1/a_{i,j}) \in M(m;\bold K)</math> を左からかければ、
:<math>
\begin{pmatrix}
1 & \bold 0 \\
\bold 0 & B\\
\end{pmatrix}
\ B \in M(m-1,n-1; \bold K) </math>
となる。<math> B \neq 0 </math> なら上と同じ操作をすれば、帰納的に求めたい形になる
 
(一意性)
以下 <math> s \leq t </math> とする。
 
Aに基本変形を施して以下の2つの形になったとする。
:<math> S = \begin{pmatrix} I_r & \bold 0\\ \bold 0 & \bold 0\\ \end{pmatrix} ,T = \begin{pmatrix} I_s & \bold 0\\ \bold 0 & \bold 0\\ \end{pmatrix} </math>
ここで、基本変形の正則性から、正則行列 <math> \ P \in M(m;\bold K) \ Q \in M(n;\bold K) </math> が存在して、
:<math> T = PSQ = \begin{pmatrix} P_{s,s} & P_{s,m-s}\\ P_{m-s,s} & P_{m-s,m-s}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_r & \bold 0\\ \bold 0 & \bold 0\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} Q_{s,s} & Q_{s,n-s}\\ Q_{n-s,s} & Q_{n-s,n-s}\\ \end{pmatrix}
= \begin{pmatrix} P_{s,s}Q_{s,s} & P_{s,s}Q_{s,n-s}\\ P_{m-s,s}Q_{s,s} & P_{m-s,s}Q_{s,n-s}\\ \end{pmatrix} </math>
したがって<math>
\ P_{s,s}Q_{s,s} = I_s ,\ P_{s,s}Q_{s,n-s} = \bold 0 ,\ P_{m-s,s}Q_{s,s} = \bold 0 </math> が成り立つ。
これから、
<math> \ P_{s,s} ,\ Q_{s,s} </math> は正則で
<math> \ Q_{s,n-s} = \bold 0 </math> となるから <math> \ P_{m-s,s}Q_{s,n-s} = \bold 0 </math>
∴<math> \ r = s </math>□
 
このことから、<math> A \in M(n; \bold K) </math> において