「線型代数学/逆行列」の版間の差分
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==逆行列の性質==
*逆行列の一意性
''定理''：逆行列は一意的に定まる。
（証明）<math>\ A </math> の逆行列として<math>\ X </math>の他に <math>\ Y </math>が存在したとすると
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∴<math>\ X = Y </math> である□
*逆行列であるための条件
''定理''：次のうちどちらかが成り立てば、<math> \ X </math>は <math> \ A </math>の逆行列である。
<math>\ AX = I_n ,XA = I_n </math>
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ここから先は[[線型代数学/行列の基本変形#基本行列|行列の基本変形]]を理解しているものとして話を進める。
*逆行列であるための条件～証明～
まず、次の補題を示す。
''補題'':<math> \ C = \begin{pmatrix} \ A & \bold 0 \\ \bold 0 & \ B\\ \end{pmatrix} </math> が正則 <math> \Leftrightarrow \ A, \ B </math> が正則 （<math>\ A \in \ M(n;\bold K)</math>,<math>\ B \in\ M(m;\bold K)</math>）
（証明）
:<math>(\Rightarrow) \ C </math> の逆行列を <math> \ Y </math> とすると、
:<math> \ CY = \begin{pmatrix} \ A & \bold 0_{n,m} \\ \bold 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ AY_{n,n} & \ AY_{n,m} \\ \ BY_{m,n} & \ BY_{m,m}\\ \end{pmatrix} = I_{n+m} </math>
:<math> \ YC = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ A & \bold 0_{n,m} \\ \bold 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} A & \ Y_{n,m} B \\ \ Y_{m,n} A & \ Y_{m,m} B\\ \end{pmatrix} = I_{n+m}</math>
したがって、<math> \ AY_{n,n} = Y_{n,n}A = I_n ,\ BY_{m,m} = Y_{m,m}B = I_m </math> が成り立つので、<math> \ A, \ B </math> は正則□
:<math>(\Leftarrow) \begin{pmatrix} \ A^{-1} & \bold 0\\ \bold 0 & \ B^{-1}\\ \end{pmatrix} </math> は、
<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則□
（定理の証明）
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以上のことから次の定理が成り立つ。
''定理
:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix} </math>
を左基本変形することで以下の行列を得たとする。
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