「線型代数学/逆行列」の版間の差分

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逆行列であるための条件の証明の記述
17 行
 
==逆行列の性質==
*===逆行列の一意性===
''定理'':逆行列は一意的に定まる。
 
25 行
:<math>\ X-Y = \bold 0 </math>
∴<math>\ X = Y </math> である□
*===逆行列であるための条件===
''定理'':次のうちどちらかが成り立てば、<math> \ A</math> は正則であり、<math> \ X </math>は <math> \ A </math>の逆行列である。
 
<math>\ AX = I_n ,XA = I_n </math>
32 行
(証明)後述
 
*===逆行列に関する演算===
<math> \ A,P_1,\ldots ,P_m \in \ M(n; \bold K) </math> が正則であるとき、以下が成り立つ。
:<math> \ A = P_1 \cdots P_m \Rightarrow \ A^{-1} = P_m^{-1} \cdots P_1^{-1} </math>
43 行
 
 
*===逆行列であるための条件~証明~===
 
まず、次の補題を示す。
 
''補題'':<math> \ C = \begin{pmatrix} \ A & \bold 00_{n,m} \\ \bold 00_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} </math> が正則 <math> \Leftrightarrow \ A, \ B </math> が正則 (<math>\ A \in \ M(n;\bold K)</math>,<math>\ B \in\ M(m;\bold K)</math>)
 
(証明)
55 行
 
したがって、<math> \ AY_{n,n} = Y_{n,n}A = I_n ,\ BY_{m,m} = Y_{m,m}B = I_m </math> が成り立つので、<math> \ A, \ B </math> は正則□
:<math>(\Leftarrow) \begin{pmatrix} \ A^{-1} & \bold 00_{n,m}\\ \bold 00_{m,n} & \ B^{-1}\\ \end{pmatrix} </math> は、
 
<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則□
 
(定理の証明)数学的帰納法で示す。
 
<math>\ n = 1 </math>のとき <br >
行列はただの数字となるので、正しい。
 
<math>\ n = k </math>のとき定理は正しいと仮定する。
 
<math>\ A,X \in \ M(k+1; \bold K) </math> が <math>\ AX = I_{k+1} </math> をみたしているとき、
 
<math>\ A \neq \bold 0</math> なので、基本行列の積 <math>\ P,Q \in \ M(k+1;\bold K) </math> が存在して、
:<math>\ PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\bold 0 \\ \bold 0 & \ B \\ \end{pmatrix} (\bold 0 \in \bold K^{k}) </math>
と変形できる。また、
<math>\ Q^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\bold v\\ \bold w & \ X' \end{pmatrix} (u \in \bold K,\bold v,w \in \bold K^{k},\ X' \in \ M(k; \bold K)) </math> とおけば、
:<math> \ I_{k+1} = PAQQ^{-1}XP^{-1} = \begin{pmatrix} u & ^t\bold v\\ \ B\bold w & \ BX'\\ \end{pmatrix}</math> より
:<math> u = 1,^t\bold v = \bold 0,B\bold w = \bold 0,BX' = I_{k} </math> となる。
 
ここで、帰納法の仮定と補題より<math> BX' = I_k \Leftrightarrow B </math> は正則 <math>\Leftrightarrow PAQ = \begin{pmatrix} 1 & ^t\bold 0 \\ \bold 0 & \ B \\ \end{pmatrix} (\bold 0 \in \bold K^{k}) </math> は正則
 
<math> \ P,Q </math> は正則だから <math>\ A</math> も正則。
 
以上より<math>\ n = k+1</math> のときも定理は正しい。<math>\ XA = I_{k+1} </math> のときも同様である□