「線型代数学/逆行列」の版間の差分
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逆行列であるための条件の証明の記述 |
例題、練習問題の追加 |
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==逆行列の求め方==
===方法===
<math> \ A \in M(n;\bold K) </math> が正則であるとする。このとき、
:<math>\ PAQ = I_n </math>
100 行
:<math>\begin{pmatrix} \ I_n & \ B \\ \end{pmatrix} </math> （<math> \ B \in \ M(n;\bold K)</math>）
このとき、<math> \ A^{-1} = B </math> である。
===例題===
<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\ 1 & 1& 1\\ -2 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math> の逆行列を求めよ。
<math>\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ -2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
（第2行の-2倍を第1行に、2倍を第3行に加える）<math> \longrightarrow \begin{pmatrix} 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 1 & 1& 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
（第2行と第1行を入れ替える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 2 & 3 & 0 & 2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
（第2行を第1行に加え、第2行の2倍を第3行に加える）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & -1 & -1 & 1 & -2 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
（第3行を第2行に加え、さらに第2行を－1倍する）<math>\longrightarrow \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & -3 & 4 & -1\\ 0 & 0 & 1 & 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
よって逆行列は、<math>\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0\\ -3 & 4 & -1\\ 2 & -2 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
===練習問題===
以下の（１）,（２）の行列の逆行列を求めよ。
（１）<math>\begin{pmatrix} 3 & 1 & 2\\ 2 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\\ \end{pmatrix} </math> （２）<math>\begin{pmatrix} 3 & 2 & 2 & -1\\ 2 & 1 & 1 & 0\\ 2 & 2 & 1 & -1\\ 1 & 2 & 1 & -1\\ \end{pmatrix} </math>
答え（１）<math>\frac{1}{2} \begin{pmatrix} -1 & 3 & -1\\ 3 & -5 & 1\\ -1 & 1 & 1\\ \end{pmatrix}</math> （２）<math>\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & -1 \\ -1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -2 & 1 \\ -1 & 2 & -1 & 1\\ \end{pmatrix}</math>
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