「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

(ベクトルの演算、幾何ベクトルは高等学校数学Bなどに譲る)
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:の交角を求めよ。
 
==線型変換==
 
===単位ベクトル===
次の2つの2次元ベクトルを、R<sup>2</sup>の単位ベクトルという。
 
<math>\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
\end{pmatrix}</math>
 
また、次の3つの3次元ベクトルをR<sup>3</sup>の単位ベクトルという。
 
<math>\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
1\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
0\\
1\\
0\\
\end{pmatrix}</math>, 
<math>\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
1\\
\end{pmatrix}</math>
 
平面上の任意の点の位置ベクトルは、二次元の単位ベクトルを適当にスカラー倍して足し合わせることで表現できる。
三次元の空間上の点についても同様に、三次元の単位ベクトルで表現できる。また、この表現の仕方は一意的である。
このような性質を指して、単位ベクトルの組はR<sup>2</sup>(R<sup>3</sup>)の'''基底'''であるという。
 
===R<sup>2</sup>の線型変換===
 
行列とは、4個の実数を正方形に並べた表、
 
<math>A=\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}</math>      (6.1)
 
のことである。同時に行列
 
<math>B=\begin{pmatrix}
p & q\\
r & d\\
\end{pmatrix}</math>との掛け算を
 
<math>BA=
\begin{pmatrix}
ap+cq & bp+dq\\
ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}</math>
 
対してベクトル
<math>\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}</math>
 
との掛け算は、
 
<math>\mathbf{x}'=A\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
ax+by\\
cx+dy\\
\end{pmatrix}</math>
 
と、定義する。さて、行列とベクトルとの積は、位置ベクトル'''x'''の点Pが、行列Aをかけることによって
位置ベクトル'''x''''の点P'に変換されたと見ることができる。
 
例えば、
 
<math>
\begin{pmatrix}
1& 0\\
0& -1\\
\end{pmatrix}
</math>
 
は、点Pを、x軸に関して線対称な点P'への変換である。これをx軸に関する折り返しと言う。
 
 次に、行列Aによって点Pを変換したあと、さらに行列Bで変換することよって点Pを点P<nowiki>''</nowiki>(位置ベクトル'''x'''<nowiki>''</nowiki>)に移そう。
 
<math>\mathbf{x}''=B(A\mathbf{x})=B\mathbf{x}'=
\begin{pmatrix}
p & q\\
r & s\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
ax+by\\
cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
(ap+cq)x+(bp+dq)y\\
(ar+cs)x+(br+ds)y\\
\end{pmatrix}</math>
 
   
<math>=(AB)\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
ap+cq & bp+dq\\
ar+cs & br+ds\\
\end{pmatrix}\mathbf{x}</math>
 
よって、'''x'''''=B(A'''x''')=(BA)'''x'''
 
行列A,B,C,ベクトル'''x''','''y''',数cに関して次の性質が成り立つ。
 
A(BC)=(AB)C
 
<math>
\begin{cases}
A(\mathbf{x}+\mathbf{y})=A\mathbf{x}+A\mathbf{y})\\
A(c\mathbf{x})=(Ac)\mathbf{x}
\end{cases}</math>     (6.2)
 
特に、(6.2)は重要で、これを行列Aによって引き起こされる'''R'''<sup>2</sup>の変換T<sub>A</sub>:'''x'''→A'''x'''(「T<sub>A</sub>は'''x'''のA'''x'''への変換」と言う意味)の線型性と言う。一般にR<sup>2</sup>変換Tが、次の性質を満たすとき、Tを'''R'''<sup>2</sup>の線型変換という
 
<math>
\begin{cases}
T(\mathbf{x}+\mathbf{y})=T\mathbf{x}+T\mathbf{y}\\
T(c\mathbf{x})=c(T\mathbf{x})
\end{cases}</math>
 
一般に次の定理が成り立つ。
 
 
'''定理(6.1)'''
 
TをR<sup>2</sup>上の変換とするとき、
 
Tが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''
 
 
(証明)
<math>\Leftarrow</math>は既に示した。<math>\Rightarrow</math>を示す。
 
単位ベクトルの行き先だけ調べれば十分である。(その理由は別のところで述べる)
 
<math>T\mathbf{e}_1=
\begin{pmatrix}
a\\
c\\
\end{pmatrix}</math> 
<math>T\mathbf{e}_2=
\begin{pmatrix}
b\\
d\\
\end{pmatrix}</math>とする。
 
任意の<math>\mathbf{x}=x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2</math>
 
Tは線型変換なので、
 
<math>T\mathbf{x}=T(x\mathbf{e}_1+y\mathbf{e}_2)=xT\mathbf{e}_1+yT\mathbf{e}_2
=x\begin{pmatrix}
a\\
c\\
\end{pmatrix}+y
\begin{pmatrix}
b\\
d\\
\end{pmatrix}</math>
 
  <math>=\begin{pmatrix}
ax+by\\
cx+dy\\
\end{pmatrix}=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
\end{pmatrix}</math>
 
<math>A=
\begin{pmatrix}
a & b\\
c & d\\
\end{pmatrix}</math>とすれば、
 
T'''x'''=A'''x'''                        ♯
 
Aによって引き起こされる変換をT<sub>A</sub>と書くこともある。
 
全てのベクトルを'''o'''に移す変換に対応する行列を特にOと書く。
 
'''例'''
 
全ての点を反時計回りにα回転させる変換は線型変換であり、対応する行列は
 
<math>\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha\\
\sin \alpha & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}</math>である。
 
 
演習
 
1.原点に対する対象変換は線型変換である。この変換に対応する行列を求めよ
 
2.T<sub>B</sub>T<sub>A</sub>=T<sub>BA</sub>を示せ。
 
3.
 
 T'''x'''を'''x'''の'''a'''への正射影とする。この時Tを射影子と言う。射影子は線型変換である。この時
 
 <math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a\\
b\\
\end{pmatrix}</math> 
<math>a^2+b^2=1</math>
とすると、Tに対応する行列を求めよ
 
4.
 
 ('''a''','''b''')=0,'''a''','''b'''≠'''o'''
 
 S:'''a'''への射影子,  T:'''b'''への射影子
 
 とする。この時次の三つを証明せよ。
 
 (1)T^2=S (2)TS=ST=O (3)任意の'''x'''に対して、T'''x'''+S'''x'''='''x'''
 
===R<sup>3</sup>の線型変換===
 
前部で定義した行列の概念を広げよう。すなわち、9個の実数の表
 
<math>A=
\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>
 
も行列と言う事にして、前部で定義した行列を二次の、今定義した行列を三次の行列といって区別することにする。
 
ベクトルとの積、行列同士の積も同様に定義される。したがって、
 
<math>\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z\\
\end{pmatrix}</math>に対しては、
<math>A\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
a_{1,1}x + a_{1,2}y + a_{1,3}z\\
a_{2,1}x + a_{2,2}y + a_{2,3}z\\
a_{3,1}x + a_{3,2}y + a_{3,3}z\\
\end{pmatrix}</math>が、
 
<math>B=
\begin{pmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3}\\
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>と
<math>AB=
\begin{pmatrix}
c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3}\\
c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3}\\
c_{3,1} & c_{3,2} & c_{3,3}\\
\end{pmatrix}</math>にたいしては、
 
<math>c_{k,j}=\sum_{i=1}^{3}a_{k,i}b_{i,j}</math>(i,j=1,2,3)
 
が定義されている。次のような性質がある。
 
(AB)'''x'''=A(B'''x'''), (AB)C=A(BC)
 
 
A('''x'''+'''y''')=A'''x'''+B'''y''', A(c'''x''')=(Ac)'''x'''     (6.3)
 
R<sup>3</sup>における線形変換Tは次の性質を持つ変換である。
 
T('''x'''+'''y''')=T('''x''')+T('''y''')
T(c'''x''')=c(T'''x''')
 
前部とまったく同様に次の定理が導ける
 
'''定理(6.2)'''
 
 R<sup>3</sup>においてTが線型変換⇔あるAに対してT'''x'''=A'''x'''
 
Aによって引き起こされる変換をT<sub>A</sub>と書くことがある。すべてのベクトルを'''o'''に線形変換する行列をOと書く
 
'''例'''
 
 y軸を中心にα回転させる変換に対応する変換は
 
<math>\begin{pmatrix}
\cos \alpha & 0 & -\sin \alpha\\
0 & 1 & 0\\
\sin \alpha & 0 & \cos \alpha\\
\end{pmatrix}</math>
 
'''演習'''
 
1.定理(6.2)を証明せよ
 
2.次の行列が引き起こす変換はどんな変換か
 
 (1)<math>\begin{pmatrix}
-1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math> 
(2)<math>\begin{pmatrix}
\cos \alpha & -\sin \alpha & 0\\
\sin \alpha & \cos \alpha & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math> 
(3)<math>\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0\\
1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1\\
\end{pmatrix}</math>
 
3.
 
 <math>\mathbf{a}=\begin{pmatrix}
a\\
b\\
c\\
\end{pmatrix}</math>, <math>a^2+b^2+c^2=1</math>
 
 この時、'''a'''への射影子に対応する行列を求めよ。
 
4.
 
 '''b'''と'''c'''の張る平面に、その平面上に無い点P(位置ベクトル'''x''')から垂線を下ろす。その足をP'(位置ベクトル'''x'''')とするとき、'''x''''を'''x'''の正射影、T'''x''': '''x'''→'''x''''を'''b''','''c'''の張る平面への射影子と言う。さて、今'''a''','''b''','''c'''が直交しているとしよう。'''x'''の'''a'''への射影子をS,'''x'''の'''b''','''c'''の張る平面への射影子をTとするとき、次の事柄を証明せよ
 
 (1)T<sup>2</sup>=T (2)TS=ST=O (3)任意の'''x'''にたいし、T'''x'''+S'''x'''='''x'''
 
==外積==
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