「線型代数学/ベクトル」の版間の差分

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*<math>(\lambda\mu)\bold a= \lambda(\mu\bold a)</math>
 
== ノルム ==
ベクトルには大きさも定義される。ふつうそれは||a||で表され、
:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt {\sum^{n}_{i=1} |a_i|^2}</math>
と定義される。これをaの''ノルム''と言う。
 
'''例'''
:<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
3\\
5\\
6\\
2\\
4\\
\end{pmatrix}</math>
 
:<math>||\mathbf{a}||=\sqrt{3^2+5^2+6^2+2^2+4^2}=3\sqrt 10</math>
 
'''演習'''
:次のベクトルのノルムを求めよ
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}</math>
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
2\\
4\\
0\\
8\\
6\\
9\\
3\\
\end{pmatrix}</math>
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
0\\
\end{pmatrix}</math>
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
3\\
4\\
\end{pmatrix}</math>
#<math>\mathbf{a}=
\begin{pmatrix}
a\\
\sqrt a\\
3a\\
\sqrt 3a\\
\end{pmatrix}</math>
 
== 内積 ==
ここでは実ベクトルの場合に関して述べる。
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b}) = \sum^{n}_{i=1} a_ib_i</math>
を'''a'''と'''b'''の''内積''という。
 
特に2,3次元空間ベクトル'''a'''と'''b'''との内積は、'''a'''と'''b'''のなす角をθとすると、
:<math>(\mathbf{a},\mathbf{b})=|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\cos \theta</math>
と表される。逆に、一般のn次元実ベクトルのなす角という概念を、この関係式によって定義することができる。
 
内積については、次の性質が成り立つ。いずれも証明は易しい。
 
*('''a''','''a''')=||a||<sup>2</sup>
*'''a'''と'''b'''が直交する⇔('''a''','''b''')=0<ref>なす角について上で述べたのと同様に、これは二次元・三次元の実ベクトルについては「性質」である。逆に、それ以外のベクトルではこれは直交の「定義」である。</ref>
*c('''a''','''b''')=(c'''a''','''b''')=('''a''',c'''b''')
*('''a''','''b'''+'''c''')=('''a''','''b''')+('''a''','''c''')
*('''a'''+'''b''','''c''')=('''a''','''c''')+('''b''','''c''')
*('''a''','''b''')=('''b''','''a''')
*||'''a'''||+||'''b'''||≧||'''a'''+'''b'''||(三角不等式)
*|('''a''','''b''')|≦||'''a'''||||'''b'''||(シュワルツの不等式)
 
<references/>
 
'''演習'''
 
空間ベクトル
:<math>\mathbf{x}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
1\\
\end{pmatrix}</math>
とのなす角が<math>\pi\over6</math>であり、かつ
:<math>\mathbf{y}=
\begin{pmatrix}
1\\
1\\
4\\
\end{pmatrix}</math>
とのなす角が<math>\pi\over4</math>であるようなノルムが1のベクトルを求めよ。
 
注)そのようなベクトルはただひとつではない。
 
==助変数表示==
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