「線型代数学/逆行列」の版間の差分

<small> [[線型代数学]] > 逆行列 </small>

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この章では逆行列の性質について議論する。

 

なお、行列の演算（和、積等）については [[線型代数学/行列概論#行列の演算|行列概論]] を参照のこと。

 

<math> A \in \ M(n; \bold K) </math>に対して、

:<math> \ AX = XA = I_n </math>

となるような　<math>X \in \ M(n,; \bold K)</math> が存在するとき、<math> \ X</math>は<math> \ A </math>の逆行列であるといい、<math>\ X = \ A^{-1} </math>と書く。

 

<math>\ A </math>が逆行列をもつとき　<math> \ A </math>は正則である、という。

 

逆行列という言い方のほうが馴染みがあるかもしれないが、線形代数学では、正則という言い方をよくするので慣れてもらいたい。

==逆行列の性質==

===逆行列の一意性===

:<math>\ AX-AY = A(X-Y) = \bold 0 </math>

<math>\ X </math>を左からかければ

:<math>\ X-Y = \bold 0 </math>

∴<math>\ X = Y </math>　である□

===逆行列であるための条件===

<math>\ AX = I_n ,XA = I_n </math>

 

 

===逆行列に関する演算===

<math> \ A,P_1,\ldots ,P_m \in \ M(n; \bold K) </math> が正則であるとき、以下が成り立つ。

 

ここから先は[[線型代数学/行列の基本変形#基本行列|行列の基本変形]]を理解しているものとして話を進める。

 

まず、次の補題を示す。

 

:<math>(\Rightarrow) \ C </math> の逆行列を　<math> \ Y </math> とすると、

:<math> \ CY = \begin{pmatrix} \ A & \bold 0_{n,m} \\ \bold 0_{m,n} & \ B\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \ Y_{n,n} & \ Y_{n,m} \\ \ Y_{m,n} & \ Y_{m,m}\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \ AY_{n,n} & \ AY_{n,m} \\ \ BY_{m,n} & \ BY_{m,m}\\ \end{pmatrix} = I_{n+m} </math>

 

<math>\ C </math>の逆行列である。したがって、<math>\ C </math>は正則□

 

 

<math>\ n = 1 </math>のとき　<br >

 

以上より<math>\ n = k+1</math> のときも定理は正しい。<math>\ XA = I_{k+1} </math> のときも同様である□

 

==逆行列の求め方==

 

以上のことから次の定理が成り立つ。

:<math>\begin{pmatrix} \ A & \ I_n \\ \end{pmatrix} </math>

を左基本変形することで以下の行列を得たとする。

:<math>\begin{pmatrix} \ I_n & \ B \\ \end{pmatrix} </math>　（<math> \ B \in \ M(n;\bold K)</math>）

このとき、<math> \ A^{-1} = B </math>　である。

 

===例題===