「線型代数学/ベクトル」の版間の差分
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== ベクトル ==
{{定義|0.1.1}}
n個の'''K'''の元を縦に並べたものを'''n次列ベクトル'''とよび、次のように括弧でかこんだ中にn個の縦に並べた'''K'''の元を書く。
:<math>\bold a=
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:<math>\bold a= \begin{pmatrix} a_1 && a_2 && \cdots && a_n \end{pmatrix}</math>
a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, …, a<sub>n</sub>をベクトル'''a'''の'''成分'''(element)と呼び、特にa<sub>k</sub>を'''a'''の第k成分と呼ぶ。
{{定義終わり}} {{定義|0.1.2}} 成分がすべて実数のベクトルを特に'''実ベクトル'''と言う。対して、成分がすべて複素数のベクトルを特に'''複素ベクトル'''と言う。また、成分が全て0のベクトルを'''零ベクトル'''といい、'''o'''と書く。 {{定義終わり}}
{{定義|0.1.3}}
'''K'''を成分とするn次列ベクトル全体の集合を<math>\bold K^n</math>で表す。
: <math>\bold K^n = \left\{ \begin{pmatrix} a_1\\ a_2\\ \vdots\\ a_n\\ \end{pmatrix} \Bigg| a_1, a_2, \cdots, a_n \in \bold K \right\}</math>
{{定義終わり}}
<math>\bold K = \R</math>のとき<math>\R^n</math>は実数を成分とするn次列ベクトル全体の集合であり、<math>\bold K = \C</math>のとき<math>\C^n</math>は複素数を成分とするn次列ベクトル全体の集合である。
===相等関係===
{{定義|0.1.4}}
2つのn次列ベクトル<math>\bold a, \bold b \in \bold K^n</math>が「等しい」とは、2つのベクトルの各成分が全て等しいことをいう。すなわち、
:<math>\bold a , \bold b \in \bold K^n , \bold a = \begin{pmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}, \bold b = \begin{pmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{pmatrix}</math> のとき
:<math>\bold a = \bold b \iff \forall i \in \{1,2,\cdots,n\}, a_i = b_i</math>
{{定義終わり}}
== ベクトルの演算 ==
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</math>
について、ベクトルの和 <math>\bold a + \bold b</math>を次のように定義する。
{{定義|0.1.5}}
\begin{pmatrix}
a_1+b_1\\
52 ⟶ 62行目:
a_n+b_n\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
ベクトルの和に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\bold a, \bold b, \bold c \in \bold K^n</math>であり、<math>\bold o \in \bold K^n</math>は零ベクトルである。
{{定理|0.1.6}}
* 交換則: '''a'''+'''b'''='''b'''+'''a'''
* 結合則: ('''a'''+'''b''')+'''c'''='''a'''+('''b'''+'''c''')
* 零元の存在: '''a'''+'''o'''='''a'''
{{定理終わり}}
証明は、簡単なので読者に任せたい。
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</math>
と定数<math>\lambda \in \bold K</math>について、ベクトルの定数倍 <math>\lambda \bold a</math>を次のように定義する。
{{定義|0.1.7}}
\begin{pmatrix}
\lambda a_1\\
77 ⟶ 91行目:
\lambda a_n\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
ベクトルの定数倍に関して、次が成り立つ。ここで、<math>\bold a, \bold b \in \bold K^n, \lambda, \mu \in \bold K</math>である。
{{定理|0.1.8}}
*<math>\lambda(\bold a+\bold b)=\lambda \bold a + \lambda \bold b</math>
*<math>(\lambda +\mu ) \bold a = \lambda \bold a + \mu \bold a</math>
*<math>(\lambda\mu)\bold a= \lambda(\mu\bold a)</math>
{{定理終わり}}
==助変数表示==
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