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「線型代数学/行列概論」の版間の差分

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sty
9 行
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== 定義 ==
{{定義|0.2.1}}
<math>m,n \in \N</math> とする。mn個の'''K'''の元 <math>a_{i,j}\in\bold K(i=1,2,\cdots,m,~j=1,2,\cdots,n)</math>を、丸括弧で囲んだ中に次のように縦にm個、横にn個、表のように並べて書いたものを、m行n列の'''行列'''(matrix)と言う。(m&times;n)-行列とも言う。
:<math>\begin{pmatrix}
20 ⟶ 21行目:
 
この行列を構成する<math>a_{i,j}\in \bold K</math>を行列の'''成分'''(element)と言う。横に並んだ一列を'''行'''(row)、縦に並んだ一列を'''列'''(column)と言う。上からi番目の行を第i行といい、左からj番目の列を第j列と言う。行列内の第i行、第j列に位置する成分を、この行列の(i,j)-成分と言う。しばしば行列AをA=(a<sub>i,j</sub>)と書くことがあるが、これは(i,j)-成分がa<sub>i,j</sub>であるような行列を示す。成分が全て実数の行列を実行列と言い、成分が全て複素数の行列を複素行列という。また、m=nの場合、(n&times;n)-行列を特に'''n次正方行列'''あるいは'''n次行列'''と呼ぶ。
{{定義終わり}}
 
{{定義|0.2.2}}
成分が全て'''K'''の元であるような(m&times;n)-行列全体の集合を ''M'' (m,n;'''K''')で表す。特に成分が全て'''K'''の元であるn次行列全体の集合を ''M'' (n;'''K''')で表す。
{{定義終わり}}
 
{{定義|0.2.3}}
また、成分が全て0の行列を'''零行列'''といい、Oと書く。特に(m&times;n)-行列であることを明示する場合には、O{{sub|m,n}}と書き、n次行列であることを明示する場合にはO{{sub|n}}と書く。
成分が全て0の行列を'''零行列'''といい、Oと書く。特に(m&times;n)-行列であることを明示する場合には、O{{sub|m,n}}と書き、n次行列であることを明示する場合にはO{{sub|n}}と書く。
{{定義終わり}}
 
== 相等関係 ==
{{定義|0.2.4}}
2つの(m&times;n)-行列A,Bに関し、AとBが等しいとは、2つの行列の対応する成分が全て等しいことを言う。すなわち、
:<math>A,B \in M(m,n;\bold K), A=(a_{i,j}), B=(b_{i,j}) (i=1,\cdots,m,~j=1,\cdots,n)</math>のとき、
:<math>A = B \iff \forall i,j,~a_{i,j} = b_{i,j}</math>
{{定義終わり}}
 
== 演算 ==
行列<math>A,B \in M(m,n;\bold K)</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
定義(1.3):ベクトル同士の和ベクトルの定数倍
{{定義|0.2.5}}
 
:<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dotscdots & a_{1,mn}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dotscdots & a_{2,mn}\\
a_{3,1}\vdots & a_{3,2} & a_{3,3}\vdots & \dotsddots & a_{3,m}\vdots \\
\dotsa_{m,1} & \dotsa_{m,2} & \dotscdots & \dots & \dotsa_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>, <math>B=\begin{pmatrix}
a_{n,1} & a_{n,2} & a_{n,3} & \dots & a_{n,m}\\
b_{1,1} & b_{1,2} & \cdots & b_{1,n}\\
\end{pmatrix}</math>
b_{2,1} & b_{2,2} & \cdots & b_{2,n}\\
,　<math>B=\begin{pmatrix}
b_{1,1}\vdots & b_{1,2} & b_{1,3}\vdots & \dotsddots & b_{1,m}\vdots \\
b_{2m,1} & b_{2m,2} & b_{2,3} & \dotscdots & b_{2m,mn}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、
b_{3,1} & b_{3,2} & b_{3,3} & \dots & b_{3,m}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
b_{n,1} & b_{n,2} & b_{n,3} & \dots & b_{n,m}\\
\end{pmatrix}</math>,　c<big>&isin;</big><math>\mathbb{C}</math>
 
の時
 
:<math>A+B=\begin{pmatrix}
a_{1,1}+b_{1,1} & a_{1,2}+b_{1,2} & a_{1,3}+b_{1,3} & \dotscdots & a_{1,mn}+b_{1,mn}\\
a_{2,1}+b_{2,1} & a_{2,2}+b_{2,2} & a_{2,3}+b_{2,3} & \dotscdots & a_{2,mn}+b_{2,mn}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
a_{3,1}+b_{3,1} & a_{3,2}+b_{3,2} & a_{3,3}+b_{3,3} & \dots & a_{3,m}+b_{3,m}\\
\dotsa_{m,1}+b_{m,1} & \dotsa_{m,2}+b_{m,2} & \dotscdots & \dots & \dotsa_{m,n}+b_{m,n}\\
a_{n,1}+b_{n,1} & a_{n,2}+b_{n,2} & a_{n,3}+b_{n,3} & \dots & a_{n,m}+b_{n,m}\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
 
また、行列<math>A \in M(m,n;\bold K)</math>と定数<math>\lambda \in \bold K</math>について、行列の和 <math>\lambda A</math> を次のように定義する。
:<math>cA=\begin{pmatrix}
{{定義|0.2.6}}
ca_{1,1} & ca_{1,2} & ca_{1,3} & \dots & ca_{1,m}\\
<math>A=\begin{pmatrix}
ca_{2,1} & ca_{2,2} & ca_{2,3} & \dots & ca_{2,m}\\
ca_a_{31,1} & ca_a_{31,2} & ca_{3,3} & \dotscdots & ca_a_{31,mn}\\
\dotsa_{2,1} & \dotsa_{2,2} & \dotscdots & \dots & \dotsa_{2,n}\\
ca_{n,1}\vdots & ca_{n,2} & ca_{n,3}\vdots & \dotsddots & ca_{n,m}\vdots \\
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、
:<math>\lambda A=\begin{pmatrix}
\lambda a_{1,1} & \lambda a_{1,2} & \cdots & \lambda a_{1,n}\\
\lambda a_{2,1} & \lambda a_{2,2} & \cdots & \lambda a_{2,n}\\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
\lambda a_{m,1} & \lambda a_{m,2} & \cdots & \lambda a_{m,n}\\
\end{pmatrix}</math>
{{定義終わり}}
 
{{定義|0.2.7}}
:特に、c=-1の時、(-1)Aを-Aと書き,A+(-B)をA-Bと書く。
特に、<math>\lambda=-1</math>のとき、(-1)Aを-Aと書く。
 
また、A+(-B)をA-Bと書く。
{{定義終わり}}
 
次の性質は明らかであろう。
{{定理|0.2.8}}
<math>A, B, C \in M(m,n;\bold K)</math> 、また<math>\lambda, \mu \in \bold K</math>のとき、
* 結合法則: (A+B)+C=A+(B+C)
* 交換法則: A+B=B+A
* <math>\lambda (A+B)=\lambda A+ \lambda B</math>
* <math>(\lambda +\mu )A=\lambda A+\mu A</math>
* <math>(\lambda \mu )A=\lambda (\mu A)</math>
* 1A=A, 0A=O
* A+O=A, A-A=O
{{定理終わり}}
 
また、2つの行列<math>A \in M(m,n;\bold K), B \in M(n,l;\bold K)</math>について、行列の積ABを次のように定義する。
(A+B)+C=A+(B+C)　　　　　　(結合法則)
{{定義|0.2.9}}
 
<math>A=\begin{pmatrix}
A+B=B+A　　　　　　　　　　　(交換法則)
a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n}\\
 
a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n}\\
c(A+B)=cA+cB
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\
 
a_{m,1} & a_{m,2} & \cdots & a_{m,n}\\
(c+d)A=cA+dA
\end{pmatrix}</math> ,
 
(cd)A=c(dA)
 
1A=A,0A=O
 
A+O=A,A-A=O
 
行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。
(l,m)型行列と(m,n)型行列の間にのみ定義されているのである。
 
定義(1.4)行列の積
 
:<math>A=\begin{pmatrix}
a_{1,1} & a_{1,2} & a_{1,3} & \dots & a_{1,m}\\
a_{2,1} & a_{2,2} & a_{2,3} & \dots & a_{2,m}\\
a_{3,1} & a_{3,2} & a_{3,3} & \dots & a_{3,m}\\
\dots & \dots & \dots & \dots & \dots\\
a_{l,1} & a_{l,2} & a_{l,3} & \dots & a_{l,m}\\
\end{pmatrix}</math>
<math>B=\begin{pmatrix}
b_{1,1} & b_{1,2} & b_{1,3} & \dotscdots & b_{1,nl}\\
b_{2,1} & b_{2,2} & b_{2,3} & \dotscdots & b_{2,nl}\\
b_{3,1}\vdots & b_{3,2} & b_{3,3}\vdots & \dotsddots & b_{3,n}\vdots\\
\dotsb_{n,1} & \dotsb_{n,2} & \dotscdots & \dots & \dotsb_{n,l}\\
\end{pmatrix}</math> のとき、AとBの積ABを
b_{m,1} & b_{m,2} & b_{m,3} & \dots & b_{m,n}\\
: <math>c_{i,j}=\sum_{k=1}^n a_{i,k}b_{k,j} = a_{i,1}b_{1,j} + a_{i,2}b_{2,j} + \cdots + a_{i,n}b_{n,j}~(i=1,\cdots,m,~j=1,\cdots,l)</math> によって
\end{pmatrix}</math>
: <math>AB=\begin{pmatrix}
c_{1,1} & c_{1,2} & c_{1,3} & \dotscdots & c_{1,nl}\\
c_{2,1} & c_{2,2} & c_{2,3} & \dotscdots & c_{2,nl}\\
c_{3,1}\vdots & b_{3,2} & c_{3,3}\vdots & \dotsddots & c_{3,n}\vdots\\
\dotsc_{m,1} & \dotsc_{m,2} & \dotscdots & \dots & \dotsc_{m,l}\\
\end{pmatrix} \in M(m,l;\bold K)</math>
c_{l,1} & c_{l,2} & c_{l,3} & \dots & c_{l,n}\\
と定める。
\end{pmatrix}</math>の時、
{{定義終わり}}
 
行列同士の積は全ての二行列に対して定義されているわけではない。(m&times;n)-行列と(n&times;l)-行列の間にのみ定義されているのである。
<math>c_{i,k}=\sum_{j=1}^m a_{i,j}b_{j,k}=a_{i,1}b_{1,k}+a_{i,2}b_{2,k}+\dots+a_{i,m}b_{m,k}</math>(i=1,2,...,n,k=1,2,
 
 
'''例題'''
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