「線型代数学/行列概論」の版間の差分
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-階数、単位行列の位置を変更、 |
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== 演算 ==
=== 和・定数倍 ===
行列<math>A,B \in M(m,n;\bold K)</math>について、行列の和 A+B を次のように定義する。
{{定義|0.2.5}}
60 ⟶ 61行目:
{{定義終わり}}
また、行列<math>A \in M(m,n;\bold K)</math>と定数<math>\lambda \in \bold K</math>について、行列の
{{定義|0.2.6}}
<math>A=\begin{pmatrix}
94 ⟶ 95行目:
{{定理終わり}}
=== 積 ===
{{定義|0.2.9}}
<math>A=\begin{pmatrix}
120 ⟶ 122行目:
'''例題'''
次の計算をせよ。
:<math>\begin{pmatrix}
-7 & -6 & -5\\
-4 & -3 & -2\\
131 ⟶ 133行目:
\end{pmatrix}</math>
;解答
<math>=▼
:<math>\begin{align}
\begin{pmatrix}▼
\end{pmatrix}▼
\begin{pmatrix}▼
\end{pmatrix} &=▼
\begin{pmatrix}
(-7)(-1)+(-6)\times 2+(-5)\times 5 & (-7)\times 0+(-6)\times 3+(-5)\times 6
137 ⟶ 149行目:
(-4)(-1)+(-3)\times 2+(-2)\times 5 & (-4)\times 0+(-3)\times 3+(-2)\times 6
& (-4)\times 1+(-3)\times 4+(-2)\times 7\\
\end{pmatrix}
&=\begin{pmatrix}▼
<math>▼
▲\begin{pmatrix}
-30 & -48 & -66\\
-12 & -21 & -30\\
\end{pmatrix}
\end{align}</math>
'''例題'''
<math>A
;解答
A=(a<sub>p,q</sub>)B=(b<sub>q,r</sub>)C=(c<sub>r,s</sub>)
168 ⟶ 181行目:
これは、(1.5)と等しい。よって、(AB)C=A(BC) #
行列の積について、次が成り立つ。
# <math>A \in M(m,n;\bold K),~B,C \in M(n,l;\bold K)</math> のとき、
# <math>A, B \in M(m,n;\bold K),~C \in M(n,l;\bold K)</math> のとき、
#: (A+B)C=AC+BC
# <math>A \in M(m,n;\bold K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n,l}=O_{m,l}, ~O_{k,m}A=O_{k,n}</math>
# 特に、<math>A \in M(n;\bold K)</math> のとき、
#: <math>AO_{n}=O_{n}A=O_{n}</math>
{{定理終わり}}
任意の行列に、適当な零行列をかけると、常に零行列が得られる。零行列は、実数における0に似ている。
===単位行列===▼
▲定理(1.5.1)
単位行列とは、対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列のことである。例えば、▼
▲:A(B+C)=AB+AC, (A+B)C=AC+BC
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
▲</math>
など。単位行列を表す記号としては、EやIが多く用いられる。それぞれ、Elementary, Identityの頭文字である。n行n列の行列であることを特に示したい場合にはE<sub>n</sub>、I<sub>n</sub>とも書く。▼
n行n列の単位行列に左からm行n列の行列Aをかけた積はAであり、またn行n列の単位行列に右からn行l列の行列Bをかけた積はBである。数の世界での1にあたるものが、行列の世界での単位行列だと思えばよい。▼
定義(1.6)複素共役行列
600 ⟶ 638行目:
Aが正則ならば、A<sup>0</sup>=E, A<sup>-k</sup>=(A<sup>-1</sup>)^kとして、<math>k,l\isin \mathbb{Z}</math>において定義可能である。
▲==単位行列==
▲単位行列とは、対角成分がすべて1で、その他の成分がすべて0であるような正方行列のことである。例えば、
▲\begin{pmatrix}
▲ 1 & 0 \\
▲ 0 & 1
▲\end{pmatrix}
▲\begin{pmatrix}
▲ 1 & 0 & 0 \\
▲ 0 & 1 & 0 \\
▲ 0 & 0 & 1
▲\end{pmatrix}
▲など。単位行列を表す記号としては、EやIが多く用いられる。それぞれ、Elementary, Identityの頭文字である。n行n列の行列であることを特に示したい場合にはE<sub>n</sub>、I<sub>n</sub>とも書く。
▲n行n列の単位行列に左からm行n列の行列Aをかけた積はAであり、またn行n列の単位行列に右からn行l列の行列Bをかけた積はBである。数の世界での1にあたるものが、行列の世界での単位行列だと思えばよい。
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