「物理数学I 解析学」の版間の差分
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有理関数の積分が初等関数でできることを追加。 |
計算例を追加。 |
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672 行
よって、全ての有理関数は、初等関数の範囲で積分できることが分かった。
計算例として、
:<math>
\int dx \frac {x+3} {(x+2) (x^2+1) }
</math>
を実際に計算してみる。あらかじめ、[[Maxima]]を使って、計算してみた。
integrate((x+3)/((x^2+1)*(x+2)),x);
答は、
3 + x
(%i2) INTEGRATE(----------------, x)
2
(1 + x ) (2 + x)
2
LOG(x + 1) LOG(x + 2) 7 ATAN(x)
(%o2) - ----------- + ---------- + ---------
10 5 5
読みづらいかも知れないが、さしあたり計算値はわかるものと期待する。
手計算を行なうときにはまず、分子の次数が分母の次数よりも低いことを
確認する。次に、部分分数分解を行なうが、このときには、
:<math>
\frac A {x+2} + \frac {Bx+C} { x^2+1}
</math>
とおいて計算すればよい。
ここで、分母を通分すると、分子は、
:<math>
(A+B) x^2 + (2B+C) x + A+2C
</math>
が得られるが、これは元々の式の分子である
:<math>
x+3
</math>
と一致していなくてはならない。
よって、
:<math>
\begin{matrix}
A+B = 0\\
A+2C = 3\\
2B+C = 1
\end{matrix}
</math>
が得られる。
これを解くと、
:<math>
A= \frac 1 5, B = - \frac 1 5, C = \frac 7 5
</math>
が得られる。
元の積分は
:<math>
\int dx (\frac 1 5 \cdot \frac 1 {x+2} + \frac {\frac{-1}5 x + \frac 7 5 }{x^2 +1} )
</math>
に帰着するが、これらの項ははそれぞれ初等関数の範囲で積分できる。
実際に積分を行なうと、
:<math>
\int dx (\frac 1 5 \cdot \frac 1 {x+2} + \frac {\frac{-1}5 x + \frac 7 5 }{x^2 +1} )
</math>
:<math>
= \frac 1 5 \ln (x+2) -\frac 1 {10} \ln (x^2+1) + \frac 7 5 \tan^{-1} x
</math>
が得られ、上で得た値と一致する。
====無理数を含んだ積分====
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