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シュワルツの不等式とかの証明
(一般のノルム・内積) |
(シュワルツの不等式とかの証明) |
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（１）<math> |(\bold x,\bold y)| \leq ||\bold x|| \cdot ||\bold y|| </math>（シュワルツの不等式）
等号が成り立つのは、<math>\bold x = \alpha
（２）<math>|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y || </math>
等号が成り立つのは、実数<math>
（証明）（１）<math>\ a,b \in \bold K </math> とすると
:<math> 0 \leq ||a\bold x + b\bold y||^2 = (a\bold x + b\bold y,a\bold x + b\bold y) = |a|^2||\bold x||^2 + a\bar b(\bold x,\bold y) + \bar a b(\bold y,\bold x) + |b|^2||\bold y||^2 </math>
ここで、<math>\ a = ||\bold y||^2 ,\ b = -(\bold x,\bold y)</math> とおけば、
:<math> 0 \leq ||\bold y ||^4 ||\bold x||^2 - ||\bold y||^2 \overline{(\bold x,\bold y)} (\bold x,\bold y) - ||\bold y||^2 (\bold x,\bold y)\overline{(\bold x,\bold y)} + |(\bold x,\bold y)|^2||\bold y||^2 = ||\bold y||^2(||\bold x||^2||\bold y||^2- |(\bold x,\bold y)|^2)</math>
両辺を <math> ||\bold y||^2 </math> で割り、正の平方根をとれば、
<math> |(\bold x,\bold y)| \leq ||\bold x|| \cdot ||\bold y|| </math> となる。
等号が成り立つのは、<math> 0 = ||a\bold x + b\bold y||^2 </math> すなわち、<math>\bold 0 = a\bold x + b\bold y </math> となるときだから、<math>\bold x = \alpha \bold y</math> と書ける。
逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□
（２）<math>||\bold x + \bold y||^2 = (\bold x + \bold y,\bold x + \bold y) = ||\bold x||^2 + (\bold x, \bold y) + (\bold y,\bold x) + ||\bold y||^2 \leq ||\bold x||^2 + 2|\bold x, \bold y|+ ||\bold y||^2 \leq ||\bold x||^2 + 2||\bold x|| ||\bold y|| + ||\bold y||^2 = (||\bold x + \bold y||)^2 </math>
したがって、正の平方根をとれば <math>|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y || </math> となる。
1つ目の等号は <math> (\bold x, \bold y) </math> が非負の実数となるときに成り立ち、2つ目の等号は <math>\bold x = \alpha \bold y</math> と書けるとき成り立つ。この２つの条件から、実数<math>\beta \geq 0 </math> を用いて、<math>\bold y = \beta \bold x </math> と書けるときのみ等号が成立する□
==基底の直交化==
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