「線型代数学/計量ベクトル空間」の版間の差分

編集の要約なし
(シュワルツの不等式とかの証明)
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注)そのようなベクトルはただひとつではない。
 
==一般<math>\R,\C</math> 上の線型空間でのノルム・内積==
次に、上で書いたような数ベクトルのノルム・内積の概念をさらに拡張しよう。
===定義===
<math>\ V</math> を <math>\boldR K</math> または <math>\C</math>上の線型空間とする。(以下、<math>\bold K</math> は一般の体ではなく、実数体 <math>\R </math>または複素数体 <math>\C</math>を指すことにする )
 
<math> \bold x,\bold y \in \ V </math> に対して、<math> \bold K </math> の元をかえすような演算<math> (\bold x, \bold y)</math>が次の'''(Ⅰ)'''~'''(Ⅳ)'''の性質をみたすとき、<math> (\bold x, \bold y)</math>を'''内積'''という。
:<math> 0 \leq ||a\bold x + b\bold y||^2 = (a\bold x + b\bold y,a\bold x + b\bold y) = |a|^2||\bold x||^2 + a\bar b(\bold x,\bold y) + \bar a b(\bold y,\bold x) + |b|^2||\bold y||^2 </math>
ここで、<math>\ a = ||\bold y||^2 ,\ b = -(\bold x,\bold y)</math> とおけば、
:<math>\begin{align} 0 & \leq ||\bold y ||^4 ||\bold x||^2 - ||\bold y||^2 \overline{(\bold x,\bold y)} (\bold x,\bold y) - ||\bold y||^2 (\bold x,\bold y)\overline{(\bold x,\bold y)} + |(\bold x,\bold y)|^2||\bold y||^2 \\ &= ||\bold y||^2(||\bold x||^2||\bold y||^2- |(\bold x,\bold y)|^2)\\ \end{align}</math>
 
両辺を <math> ||\bold y||^2 </math> で割り、正の平方根をとれば、
逆にこれが成り立つとき、不等号は等号になる□
 
(2)<math>\begin{align} ||\bold x + \bold y||^2 = (\bold x + \bold y,\bold x + \bold y) & = ||\bold x||^2 + (\bold x, \bold y) + (\bold y,\bold x) + ||\bold y||^2 \leq ||\bold x||^2 +& 2|\bold x, \boldleq y|+ ||\bold y||^2 \leq ||\bold x||^2 + 2||(\bold x||, ||\bold y)|| + ||\bold y||^2 = (||\bold x + \bold y||)^2 </math>
& \leq ||\bold x||^2 + 2||\bold x|| ||\bold y|| + ||\bold y||^2 \\&= (||\bold x + \bold y||)^2\\ \end{align}</math>
 
したがって、正の平方根をとれば <math>|| \bold x + \bold y || \leq || \bold x || + || \bold y || </math> となる。
 
==基底の直交化==
==種々の特徴的な変換==
===随伴変換===
===ユニタリ変換と直交変換===
===エルミート変換と対称変換===
 
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