「線型代数学/線型方程式の解」の版間の差分
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解の存在条件とか |
一般解 |
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29 行
これ以外の操作として、第n+1列を除いた列の交換を考えてみよう。
第i列と第j列を入れ替えたとき、元の方程式と同値な方程式を得るには
実際、
96 行
===一般解===
上の連立方程式の形から、
<math>\begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_r \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_r \end{pmatrix} + y_{r+1}\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ -c_{2,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \end{pmatrix} + \cdots + y_n\begin{pmatrix} -c_{1,n-r} \\ -c_{2,n-r} \\ \vdots \\ -c_{r,n-r} \end{pmatrix} </math>
<math>\alpha_{r+1}, \cdots ,\alpha_{n} \in \bold K</math> を任意の数とし、<math>y_{r+1} = \alpha_{r+1}, \cdots ,y_n = \alpha_{n} </math> とすると、
<math>\bold y = \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \vdots \\ y_r \\ y_{r+1} \\ \vdots \\ y_n \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} d_1 \\ d_2 \\ \vdots \\ d_r \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \alpha_{r+1}\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ -c_{2,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{pmatrix} + \cdots + \alpha_{n}\begin{pmatrix} -c_{1,1} \\ -c_{2,1} \\ \vdots \\ -c_{r,1} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \\ \end{pmatrix} </math>
未知数 <math>y_1, \cdots , y_n </math>を並び換えて、<math>x_1, \cdots , x_n </math> の順番にすれば <math> A\bold x = \bold b </math>の一般解となる。
===例題===
==一般解の性質==
===線型独立な解の個数===
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