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ここでは、初学者でもわかりやすいよう、個々の例について深い解説を与えながら見ていこうと思う。
== 導入 ==
Gを集合とする。Gの2元の組(x,y)に対してGの元<math>x \cdot y</math>が与えられるとき、<math>\cdot</math>をGの二項演算（あるいは単に演算）という。集合論の言葉で言えば、写像<math>\cdot:G \times G \to G ; (x,y) \mapsto x \cdot y</math>のことである。
集合Gに演算<math>\cdot</math>が定まっているとき、組<math>(G,\cdot)</math>を代数系あるいは代数構造という。
===内算と外算===
集合Gの要素の演算は、？と定義される。
定義は大げさだが、既に我々は代数構造の例を十分すぎるほど知っている。いくつか挙げてみる。
整数の集合<math>\mathbb{Z}</math>において通常の足し算+は演算であり、<math>(\mathbb{Z},+)</math>は代数構造である。
∀ ''x'',''y'' ∈ ''G''に対して、''x'' · ''y'' ∈ ''G''が成り立つ
（閉じている）場合に、？を内包演算、成り立たない（開いている）場合に、？を外延演算と言う。
実数の集合<math>\mathbb{R}</math>において通常の掛け算<math>\cdot</math>は演算であり、<math>(\mathbb{R},\cdot)</math>は代数構造である。
自然数の集合'''N'''があって、 演算子「+」の定義は、～。二つの自然の和は自然数に属する：証明：～。内算の定義は、～。そこで、
∀ ''x'',''y'' ∈ '''N'''に対して、''x'' + ''y'' ∈ '''N'''
これから我々はこのようなよく知っている代数構造の抽象的な性質だけを抜き出して調べることで、同じ抽象的性質を持つより複雑な代数構造も含めて統一的に性質を調べていこうとしている。
====外算法の例====
同じように、自然数の集合'''N'''があって、引き算 − という演算が定義されているとしよう。このとき、例えば、''5−3''=''2'' ∈ '''N'''であるが、''3−5'' = ''−2'' ∉ '''N'''である。
すなわち、自然数と自然数の引き算は、自然数とは限らない。そのため、− は外算法といえる。
この項では、外算法については扱わず、内算法について考える（群は内算法の一種だから）
上の話をまとめてみよう。まず、集合''G''をもってくる。次に、この集合''G''のすべての要素に対して、演算·を定義する。最後に、その演算の結果が、やはり''G''に入っていれば、集合''G''に対して、演算·が定義できたことになる。
このように、演算は、集合に付加するような形で定義することができる。そこで、「集合''G''に演算·が定義されたもの」を、'''代数構造'''(''G'',·)と呼ぶことにする。
====代数構造という用語について====
代数構造、は、一般的な用語ではない。一般的な用語がないため、ここでは、
∀ x,y ∈ ''G''に対して、''x'' · ''y'' ∈ ''G''が成り立つようなもののことを、'''代数構造'''と呼ぶことにした。
直感的に言えば、演算の結果が、また''G''に入っているようなもの、といったところだろうか。
===結合則と半群===
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