「物理数学I 解析学」の版間の差分

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陰関数定理:説明を追加。
→‎Lagrangeの未定定数法: 計算例を追加。
932 行
 
F(x,y) = 0の形の条件が課せられた中で、
:<math>
z = f(x,y)
</math>
の最大値を求める問題を考える。
このとき
:<math>
g = f + \lambda F
</math>
で新しい関数gを定義し、
(<math>\lambda</math>はある定数)
:<math>
\frac{\partial{g}}{\partial{x}} = \frac{\partial{g}}{\partial{y}} = \frac{\partial{g}}{\partial{{\lambda}}} = 0
</math>
948 行
得られた点が極大か極小値を取る点である。
 
*計算例
:<math>
z = x^2+y^2, F= x+y-1
</math>
として、この方法を適用してみる。極値は、(図を書いてみると)
:<math>
x= y = \frac 1 2
</math>
で現われると期待される。
<!-- (実際にはグラフ中の最小値。?) -->
この式の場合は、
:<math>
y= -x +1
</math>
を代入することで答を得ることもできる。
平方完成した形は
:<math>
z = 2(x-\frac 1 2)^2 + \frac 1 2
</math>
であり、確かに
:<math>
x= y = \frac 1 2
</math>
で極値を取ることが分かる。
未定定数法を用いると
 
:<math>
g= f +\lambda F = x^2+y^2 + \lambda (x+y-1)
</math>
が得られる。
ここで、
:<math>
\frac{\partial{g}}{\partial{\lambda}} = x+y-1 = 0
</math>
:<math>
\frac{\partial{g}}{\partial{x}} = 2x +\lambda = 0
</math>
:<math>
\frac{\partial{g}}{\partial{y}} = 2y +\lambda = 0
</math>
が得られるが、これはx,y,<math>\lambda</math>についての連立1次方程式となっている。
これを解くと、答は、
:<math>
\lambda = 1, x = y = \frac 1 2
</math>
となり、確かに正確な値と一致する。
 
====多重積分====