「高等学校数学III/積分法」の版間の差分
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9 行
積分法について
<math>\int
<math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>(aは定数)
が成り立つ。
22 ⟶ 18行目:
導出
<math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math>
の両辺を微分すると、
左辺 =右辺 = <math> f + g</math>
が従う。
よって、
<math>\int
の両辺は一致する。
(実際には2つの関数の導関数が一致するとき、
それらの関数には定数だけのちがいがある。
仮に、F(x)とG(x)が共通の導関数h(x)を持ったとする。
このとき、
<math>(F(x)-G(x) )' = h(x)- h(x) = 0</math>
となるが、0の原始関数は定数Cであることが分る。
よって、両辺を積分すると、
<math>F(x)-G(x) = C</math>
となり、F(x)とG(x)には定数だけの差しかないことが確かめられた。
よって、
<math>\int \{ f(x) + g(x) \} dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx</math>
は定数だけのちがいを含んで成り立つ式である。)
<math>\int af(x) dx = a \int f(x) dx</math>
についても両辺を微分すると、
左辺=右辺= a f(x)
が従う。
よって、
<math>\int af dx = a\int f dx</math>
が成り立つことが分る。
73 ⟶ 77行目:
これを置換積分と呼ぶ。
<math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math>
導出
<math>\int f(g(x)) dg(x) =F(g(x))</math>を<math>x</math>について微分すると、
<math>F'(g(x)) = f(g(x))g'(x)</math>
再び<math>x</math>について積分すると、
<math>\int f(g(x)) dg(x) = \int f(g(x)) g'(x) dx</math>
また、特に
*<math>\int f(ax+b) dx = \frac{1}{a} \int f(ax+b) d(ax+b)</math>
*<math>\int \{f(x)\}^n f'(x) dx = \frac{1}{n+1} \{f(x)\}^{n+1} + C (n \ne -1)</math>
*<math>\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \log | f(x) | + C</math>
例えば、<math>\int (ax+b)^2 dx</math>を考える。
<math>t = ax+b</math>と置く。
この両辺を微分すると
<math>dt = adx</math>
が成り立つことを考慮すると、
{|
|-
127 ⟶ 143行目:
関数の積の積分を行なうときある関数の微分だけを
取りだして積分すると、うまく積分できる場合がある。
<math>\int f(x) g'(x) dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) dx</math>
導出
<math>(fg)' = f'g + fg'</math>
についてf'gを左辺に移項する。
このとき
<math>(fg)' - f'g = fg'</math>
が得られるが、この両辺をxで積分すると、
<math>f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) = \int f(x) g'(x)</math>
が得られる。これは、
<math>\int f(x) g'(x) = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) </math>
と等しい。
197 ⟶ 213行目:
*<math>\int \frac{1}{\cos^2 x } dx = \tan x + C</math>
となることが分る。
<math>\int \tan x dx</math>は、置換積分法を使って
{|
|-
|<math>\int \tan x dx</math>
|<math>=\int \frac{\sin x}{\cos x} dx</math>
|-
|
|<math>=\int \frac{-(\cos x)'}{\cos x} dx</math>
|-
|
|<math>= - \int \frac{(\cos x)'}{\cos x} dx</math>
|-
|
|<math>= - \log | \cos x | + C</math>
|}
====指数・対数関数の積分====
| |||