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このようにして定まる写像をfの双対写像と呼ぶ。
== 商空間 ==
線型空間をその部分空間で「割る」ことによって新たな線型空間を作ることができる。これを商空間という。具体的には、次のような同値関係を考え、これで元の線型空間を割った商集合に対して線型空間としての構造を入れることにする。同値関係とそれで割った商集合については[[集合論]]に記載があるのでここでは繰り返さない。
''' 定義 ''' VをK線型空間、Wをその部分空間とする。このとき、V上の同値関係「～」を次で定め、この関係によって割った商集合V/～をV/Wと書く。
:<math>x \sim y \Leftrightarrow x-y \in W</math>
'''問''' この関係「～」が同値関係であることを確かめよ。
関係「～」が同値関係であることが確かめられれば、晴れてV/Wは集合として正当化されたことになる。この商集合への標準的な全射による<math>x \in V</math>の像を<math>x+W \in V/W</math>と書くことにする。標準的な全射が全射であることから、V/Wの任意の元はあるVの元xを用いてx+Wとあらわせることを注意しておく。
次にこの集合に線型空間の構造を与えたい。そのためには、この集合の元同士の「足し算」と、Kの元をかける「スカラー倍」の定義を与えればよい。もっとも安直に考えるならば、
:<math> (x+W)+(y+W):=(x+y)+W \ (x,y \in V)</math>
:<math> a(x+W):=ax+W \ (a \in K,x \in V)</math>
としたいところである。実際このようにするのであるが、ここでひとつ注意しなければならないのは、この演算が「定義になっている」かどうかである（きちんと定義になっていることをしばしば「well-definedである」という。定着した日本語訳は残念ながら存在しない）。どういうことかというと、次のことを確かめなければならない。
:<math> x+W=x'+W,y+W=y'+W \Rightarrow (x+W)+(y+W)=(x'+W)+y'+W,a(x+W)=a(x'+W)</math>
今までわれわれが知っていた演算については、これは当たり前の事実である。しかし、われわれは今新しい演算を定義しようとしているのであるから、この新しい演算が「まともな」定義であることを確かめなければならない。このことに注意する必要がある。これは特に今の場合に限らず商集合になんらかの構造を入れようとするときには必ず気をつけなければならないことである。
well-definedであることを確かめなければならないということはなかなか理解しがたいかもしれないが、実際にwell-definedであることを確かめるのは容易であるので読者に任せる。
'''問''' 上で定義した演算がwell-definedであることを確かめよ。
:（ヒント：示すべきことをもっと直接的に書き下せば、<math>x-x' \in W , y-y' \in W \Rightarrow (x+y)-(x'+y') \in W , ax-ax' \in W</math>である）
'''問''' この演算によってV/WがK線型空間になっていることを確かめよ。
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