「線型代数学/線型空間」の版間の差分
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'''問''' この演算によってV/WがK線型空間になっていることを確かめよ。
'''問''' 標準的な全射<math>V \to V/W</math>は線型写像であることを示せ。
=== 商空間の基底 ===
双対空間においては、元の空間の基底に対応した基底を自然に取ることができた。商空間においても、ある意味で同様のことができる。
'''命題''' Vを有限次元線型空間、Wをその部分空間とし、<math>x_1,...,x_m</math>はVの基底であり、しかもそのうち最初のn個<math>x_1,...,x_n</math>はWの基底であるとする。このとき、<math>x_{n+1}+W,...,x_m +W</math>はV/Wの基底。
:（証明）
:<math>\bar{x} \in V/W</math>を任意に取る。<math>\bar{x}=(a_1 x_1+...+a_m x_m)+W</math>とかける。このとき、V/Wの定義から
::<math>\bar{x}=(a_{n+1}x_{n+1}+...+a_m x_m)+W=a_{n+1}(x_{n+1}+W)+...+a_m(x_m+W)</math>
:と表示できる。あとはこの表示の一意性を言えばよい。<math>a_{n+1}(x_{n+1}+W)+...+a_m(x_m+W)=a'_{n+1}(x_{n+1}+W)+...+a'_m(x_m+W)</math>とすると、<math>(a_{n+1}-a'_{n+1})x_{n+1} + ... +(a_m-a'_m)x_m \in W</math>。これより<math>a_{n+1}-a'_{n+1}=...=a_m-a'_m=0 \ \square</math>
'''系''' <math>\dim V/W = \dim V - \dim W</math>
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