「線型代数学/線型空間」の版間の差分
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つまり、（もし基底が存在すれば）基底の元の数は一定である。言い換えると、基底の元の数は各線形空間に固有の数値である。そこで、この数に名前をつけることにする。
'''定義''' <math>x_1,x_2,\dots,x_n</math>というVの基底が存在するとき、nをVの次元といい
そのような有限個の元からなる基底が存在しないとき、Vは無限次元であるという。実は、無限次元線型空間には無限個の元からなる「基底」が存在することが知られている。例えば、上で例としてあげた線型空間は最初のK<sup>n</sup>以外は無限次元の線型空間であるが、K[X]には1,X,X<sup>2</sup>,X<sup>3</sup>,...という基底がある。<math>C^\infty(\mathbb{R})</math>の基底や<math>\mathbb{R}</math>の<math>\mathbb{Q}</math>上の基底はここまで簡単に書き表すことはできないが、存在することは知られている。
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'''定義''' <math>f:V \to W</math>を線型写像とする。
:<math>\ker f = \{ x \in V | f(x)=0 \}</math>をfの核(kernel)という。これはVの部分空間である。
:<math>im f=\{f(x) \in W | x \in V \}</math>をfの像(image)という。これはWの部分空間である。<math>\dim (im f)</math>をfの階数(rank)といい、rank fであらわす。
すぐにわかることとして、まずfが全射であるということは、fの像がWと一致することと同値である。また、線型写像が単射であることは、核が0のほかに元を持たないことと同値である。
'''命題''' 線型写像<math>f:V \to W</math>が単射<math>\Leftrightarrow \ker f = \{0\}</math>
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'''系''' <math>\dim V/W = \dim V - \dim W</math>
=== 商空間と線型写像 ===
線型写像<math>f:V \to W</math>があるとき、そのkernelはVの部分空間だったので、割った商空間<math>V/\ker f</math>を考えることができる。ここではこの商空間と元の線型写像とについて調べる。
'''補題''' V,Wを線型空間、<math>f:V \to W</math>を線型写像とする。このとき、<math>\bar{f}(x+\ker f)=f(x)</math>として写像<math>\bar{f}:V/\ker f \to im f</math>を定めるとこれはwell-defined。
:（証明）<math>x+\ker f=x'+\ker f \Rightarrow f(x)=f(x')</math>を示せばよい。<math>x+\ker f=x'+\ker f</math>とはすなわち<math>x-x' \in \ker f</math>のことなので、f(x-x')=0。すなわちf(x)-f(x')=0である。 <math>\square</math>
'''定理'''（準同型定理）
上で定めた<math>\bar{f}:V/\ker f \to im f</math>は同型。
:（証明） 全射性は自明なので単射性を示す。<math>\bar{f}(x+\ker f)=0</math>とすると、f(x)=0なので、<math>x \in \ker f</math>。すなわち商空間<math>V/\ker f</math>において<math>x+\ker f=0+\ker f</math>である。これは<math>\ker \bar{f}=0</math>ということに他ならず、したがって<math>\bar{f}</math>は単射である。 <math>\square</math>
'''系''' （次元定理）
V,Wが有限次元線型空間のとき、
:<math>\dim V=\dim(\ker f)+rank f</math>
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