「高等学校数学III/極限」の版間の差分

となる。

;証明

 

次に、'''はさみうちの原理''' を紹介する。

または

:<math>\sum_{n=1}^{\infty}a_n = S</math>

 

;例題

:#与えられた数列は公比が<math>\frac{1}{2}</math> であるので収束する。その和は、<math>\sum_{n}^\infty 100\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{200}{3}</math>。

 

<math>y= \frac{1}{x}\ ,\ y= \frac{2x-1}{x-1}</math>のように、xの分数式で表される関数をxの'''分数関数'''という。

 

漸近線の方程式は<math>x=-1\ ,\ y=2</math>である。

 

<math>\sqrt{x}\ ,\ \sqrt[3]{3x-8}</math>のように、根号の中に文字を含む式を'''無理式'''といい、変数xの無理式で表される関数をxの'''無理関数'''という。

 

ゆえに、この関数のグラフは、<math>y= \sqrt{-2x}</math>をx軸方向に-3だけ平行移動したものである。

 

二つの関数 <math>f(x)</math> と <math>g(x)</math> が与えられたとき、 <math>f(g(x))</math> という新しい関数を考えることができる。たとえば <math>f(x)=x^2+x+2</math>, <math>g(x)=x+1</math> とすると、

:<math>f(g(x))=\{g(x)\}^2+g(x)+2=x^2+3x+4</math>

この例題のように、一般に <math>(f\circ g)(x)</math> と <math>(g\circ f)(x)</math> は等しくない。

 

関数 <math>f(x)</math> と関数 <math>g(x)</math> が与えられて、

:<math>(f\circ g)(x)=x</math>

次に逆関数が存在する条件について考えてみよう。逆関数も関数であるから(逆関数の)定義域に含まれるすべての <math>x</math> で <math>f^{-1}(x)</math> が一意に定まらなくてはならない。すなわち、 <math>y=f(x)</math> において、定義域の <math>x</math> と値域の <math>y</math> のどちらかを定めるともう片方が一意に定まるような関数でなくてはならない。このことを関数 <math>f(x)</math> が'''全単射'''である、または'''一対一対応'''であるという。関数 <math>f(x)</math> が全単射であることは <math>f(x)</math> に逆関数が存在することの必要十分条件である。

 

ある関数 <math>f(x)</math> において、<math>x</math> が定数 <math>a_1</math> より小さい値をとりながら <math>a_1</math> に限りなく近づくときの関数 <math>f(x)</math> の値が一定の値 <math>b_1</math> に限りなく近づくとき、 <math>f(x)</math>の'''左極限値'''は <math>b_1</math> であるといい、

:<math>\lim_{x\to a_1-0}f(x)=b_1</math>

<math>x \to a</math>のとき、 <math>f(x)</math> が負の値をとって、その絶対値が限りなく大きくなるならば、 <math>f(x)</math> は'''負の無限大に発散する'''といい、<math>\lim_{x\to a}f(x)= - \infty</math> と書く。

 

 

ある関数 <math>f(x)</math> が定義域内の点 <math>a</math> で連続であるとは、

その関数<math>f(x)</math>のグラフが<math>x=a</math>の近傍で途切れることなく続いていることを意味する。数式で表すと次のようになる。

であることをいう。また、ある区間で <math>f(x)</math> が連続であるとは、区間内のすべての点で連続であることをいう。

 

:<math>\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1</math>