「高等学校数学III/極限」の版間の差分

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== [コラム]よく有る疑問とその回答 ==
ここでは、上述のような極限の説明に「なんかウサンクサイ」と思う生徒を対象に、そのような疑問に少しでも応えることを目標とする。よって、そのような疑問を持たない生徒が読んでも、あまり意味はない。
 
疑問を抱いた諸君、諸君の疑問はいたって正当である。あまりこのようなことを大っぴらに書くべきではないかもしれないが、高等学校における極限の取り扱いは「子供だまし」であり、近代以降の数学では極限という概念はもっと厳密な形で取り扱われている。しかしその内容は高校生には少し難しいし、詳しい書籍はほかにも存在する(wikibooksでも[[解析学基礎]]にある程度の記述がある)。そこでここでは、高校の教科書のように「子供だまし」をするのではなく、かといって厳密な形で議論するのでもなく、諸君を納得させられるかもしれない答えを提示したい。
 
=== 極限値の実在 ===
極限値という概念に次のような疑問を持つ生徒はいないだろうか。
:「限りなくその値に近づけるというだけで、決してイコールには成らないハズだ。そのようなものを考えるのはナンセンスだ。
ここでは、この問いに対するひとつの解答例を示したいと思う。分り易さを重視しているので厳密では無いが、ひとつの考え方の例として読んでもらいたい。このような疑問を持たない生徒は読み飛ばして欲しい。そのような生徒がこの項を読んでも、恐らく何の意味も無いだろう
 
ここに、ある値域が実数である分数関数 <math>f(x) = 1/x</math> を置くと、<math>x</math>が考える。この関数の正の無限大に限りなく近づくときのおける極限値は<math>0</math>である。
数式で書くならば以下の通りである。
:<math>\lim_{x\to \infty} f(x)=0</math>
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無限大の定義より、<math>1/\infty</math>はどの正の実数よりも小さい正の数、という定義になり、無限大の時と同様に、実数でないことが証明できる。
 
なお、この数は一般に無限小呼ばれ、実数に無限小と無限大という概念を加えた数を「超実数」と呼ぶ。
 
さて、この無限小という誤差を実数としてみるとどう見えるだろうか?
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前者の答えを選んだ学問は超準解析と呼ばれるが、これは易しい学問ではなく、高校で教えるのには向かない。
 
=== 「∞」 ===
少し話をかえて、「無限大」「無限小」というモノ自体について考えてみる。
 
上の説明では「無限大」というモノが、実数でないので何だかわからないのだが、とにかくある、という前提で話を進めてきた。ここに疑問を感じた生徒もいるかもしれない。そのような生徒に向けて、さらに補足説明する。
 
上でも述べたが、「超準解析」という学問においては、無限大・無限小は実体のあるものであり、数学的に厳密に取り扱われる。しかし、それは難しく、歴史的にも20世紀後半にようやく確立されたほどであった。普通は無限大・無限小といったものを表に出しては扱わないのである。この教科書の本文をもう一度見直してほしい。このコラムにおいて用いている「無限大に近づける(近づく)」といった表現はないはずである。荒っぽく言えば、「∞」は単体では意味を持たない記号であり、「<math>\lim_{x \to \infty}</math>」のような特定の文脈を与えられて初めて意味を持つ記号なのである。この「<math>\lim_{x \to \infty}</math>」はひと固まりで初めて意味を持つ記号であり、「xを」「∞に」「近づける」と分解するようなことはナンセンスだ、と言い換えてもよい。
 
では、このコラムにおける説明はなんだったのか。実はこれは説明の方便である。はじめに述べたように、厳密な記述は難しいのであえて厳密でない書き方をしている。近代的な極限の取り扱い方は、実質的にはこのコラムの内容と同じことを、∞を表に出さずに巧妙に表現したものである。その「巧妙さ」の部分が現代の大学1年生をしばしば苦しめているが、そのおかげで数学的にまとまった形式を実現できているのである。
 
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