「旧課程(-2012年度)高等学校数学C/行列」の版間の差分
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6 行
=== 行列 ===
==== 行列とその演算 ====
数値を縦横に並べたものを行列と呼ぶ。行列の一部の、横に並んだ数値のかたまりを行、縦に並んだ数値のかたまりを列、それぞれの数値を成分と呼ぶ。例えば、
:<math>
\begin{pmatrix}
13 行
\end{pmatrix}
</math>
は2行、3列からなる行列である。行数が''m''、列数が''n''の行列を''m''×''n''行列、特に行数と列数が等しい行列を''n''次正方行列、ただ1行からなる行列を行ベクトル、ただ1列からなる列ベクトル、第 ''i'' 行第 ''j'' 列の成分を (''i'', ''j'') 成分という。まったく同じ行列は等しい。まったく同じとは行数と列数が等しい、すなわち同型であり、かつ対応する (''i'', ''j'') 成分がすべて等しいことを意味する。
:<math>
\begin{pmatrix}
a&&b\\
c&&d\\
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
e&&f\\
g&&h\\
\end{pmatrix}
\Leftrightarrow
a = e, b = f,
c = g, d = h
</math>
'''例題'''
*問
次の''w'', ''x'', ''y'', ''z''の値を求めよ。
:<math>
\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2w&3x \\ 4y&5z \end{pmatrix}
</math>
*解答
それぞれ、
:<math>
w = {1 \over 2}, x = {2 \over 3}, y = {3 \over 4}, z = {4 \over 5}
</math>
===== 和，差，実数倍 =====
行列の和は各要素ごとに足し合わせれば良い
:<math>
\begin{pmatrix}
a&&b
\\
c&&d
\end{pmatrix}
+
\begin{pmatrix}
e&&f\\
g&&h
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a+e&&b+f\\
c+g&&d+h
\end{pmatrix}
</math>
差は各要素ごとに引けば良い。
:<math>
\begin{pmatrix}
a&&b
\\
c&&d
\end{pmatrix}
-
\begin{pmatrix}
e&&f\\
g&&h
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a-e&&b-f\\
c-g&&d-h
\end{pmatrix}
</math>
実数倍は、各要素に実数を掛けることによって定義する。
:<math>
k
\begin{pmatrix}
a&&b
\\
c&&d
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
ka&&kb\\
kc&&kd
\end{pmatrix}
</math>
'''例題'''
39 ⟶ 121行目:
</math>
:<math>
C + A
</math>
を計算せよ。
55 ⟶ 137行目:
</math>
となる。
'''零行列'''
すべての成分が0である行列を零行列という。零行列を
:<math>
O = \begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}
</math>
とおくと、行列Aの各成分の正負を反転させた行列
:<math>
-A= \begin{pmatrix}-2&-4\\ -3&-3 \end{pmatrix}
</math>
は、
:<math>
A + (-A) = (-A) + A = O
</math>
を満たす。
===== 行列の積と逆行列=====
行列の積
:<math>
\begin{pmatrix}
a& b \\
69 ⟶ 167行目:
</math>
は、
:<math>
\begin{pmatrix}
ae + bg &af + bh\\
75 ⟶ 173行目:
\end{pmatrix}
</math>
で定める。
'''例題'''
123 ⟶ 221行目:
AB \ne BA
</math>
となる。万が一
:<math>
AB = BA
</math>
となった場合、行列Aと行列Bは交換可能（可換）であるという。
'''単位行列'''
135 ⟶ 237行目:
</math>
を、2×2の単位行列（2次単位行列）と呼ぶ。対角成分だけが1であり、その他の成分がすべて0に等しい行列である。任意の2×2行列Aに対して、Eは
:EA = AE = A
を満たす。
141 ⟶ 243行目:
'''逆行列'''
行列Aに対してその行列との積が単位行列 <math>AA^{-1} = A^{-1}A = E</math> となる行列 <math>A^{-1}</math> を、その行列の逆行列と呼ぶ。そのような行列はもし存在すれば各Aに対してただひとつ
[[w:ケイリー・ハミルトンの定理|ケイリー・ハミルトンの定理]]より、2行2列の行列
<math>
A =
186 ⟶ 288行目:
行列の記法を使うと、
1次方程式
:<math>
\begin{cases}
x + 2y = 1\\
2x + 3y = 2
\end{cases}
</math>
は、
:<math>
\begin{pmatrix}
1 &2\\
205 ⟶ 311行目:
</math>
と書ける。両辺に左辺の行列の逆行列を掛けると、
:<math>
\begin{pmatrix}
1& 0\\
227 ⟶ 333行目:
<!-- %(0 1)(y) = (-2 1)(2)-->
:<math>
\begin{pmatrix}
x\\
241 ⟶ 347行目:
が得られ、始めの連立1次方程式が解けたことになる。
このように、連立1次方程式を解くことは逆行列を求めることと同じである。
特に、2×2行列の逆行列は既に公式が得られているので、2元1次方程式は簡単に解くことができる。[[w:線形方程式系#行列と線形方程式系|行列と線形方程式系]]も参照といいたいところだが、そちらの式は一般的すぎるので連立1次方程式（2変数の線形方程式系）の場合について以下で述べる。
連立1次方程式
:<math>
\begin{cases}
ax + by = p\\
cx + dy = q
\end{cases}
</math>
は、行列を用いて
:<math>
\begin{pmatrix}
a&&b\\
c&&d
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
p\\
q
\end{pmatrix}
</math>
と表せる。<math>A = \begin{pmatrix}a&&b\\c&&d\end{pmatrix}, \mathbf{x} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}, \mathbf{b} = \begin{pmatrix}p\\q\end{pmatrix}</math>とおくと
:<math>
A\mathbf{x} = \mathbf{b}
</math>
と書ける。ここで''A''をこの連立1次方程式の係数行列という。この方程式の解は <math>\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}</math> である。
==== 点の移動====
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