「解析学基礎/常微分方程式」の版間の差分
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定数変化法 |
ベルヌーイの微分方程式とリッカチの微分方程式 |
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あるいは、例題1で求めた一般解に<math>(x, y) = (1, 2)</math>を代入することによって''C''の値を求めてもよい。
=== ベルヌーイの微分方程式 ===
1階微分方程式のなかでも、特に
:<math>y' + f(x)y = g(x)y^n</math>
の形の微分方程式をベルヌーイ（Bernoulli）の微分方程式と呼ぶ。<math>n = 0, 1</math>であれば上で見た非斉次1階微分方程式あるいは斉次1階微分方程式の形となり、これらの解法が適用できるが、それ以外の場合でも適切な式変形によって線型微分方程式へ帰着できることが知られている。
ベルヌーイの1階微分方程式
:<math>y' + f(x)y = g(x)y^n, (n \ne 0, 1)</math>
の両辺に<math>(1-n)y^{-n}</math>をかけると、
:<math>(1-n)y^{-n}y' + f(x)(1-n)y^{1-n} = g(x)(1-n)</math>
となるから、ここで<math>z = y^{1-n}</math>とおくと、<math>z' = (1-n)y^{-n}y'</math>なので、
:<math>z' + f(x)(1-n)z = g(x)(1-n)</math>
となる。これは''z''に関する1階線型微分方程式であるから、定数変化法あるいは積分因子を用いる方法によって計算することができて、一般解
:<math>z = e^{-(1-n)\int f(x)dx} \left\{(1-n)\int g(x)e^{(1-n)\int f(x)dx} dx + C\right\}</math>
を得る。これに<math>z=y^{1-n}</math>を代入しなおすと、
:<math>\begin{align}
y^{1-n} &= e^{-(1-n)\int f(x)dx} \left\{(1-n)\int g(x)e^{(1-n)\int f(x)dx} dx + C\right\} \\
y &= e^{-\int f(x)dx} \left\{(1-n)\int g(x)e^{(1-n)\int f(x)dx} dx + C\right\}^\frac{1}{1-n}
\end{align}</math>
を得る。
=== リッカチの微分方程式 ===
1階微分方程式のなかでも、特に
:<math>y' = f(x)y^2 + g(x)y + h(x)</math>
の形に書くことのできる微分法定式をリッカチ（Riccati）の微分方程式と呼ぶ。この形の方程式は初等解法によって一般解を求めることはできない。しかし、なにか1つの特殊解<math>y_0</math>が見つかれば、それを元にして一般解を求めることができる。
リッカチの微分方程式
:<math>y' = f(x)y^2 + g(x)y + h(x)</math>
について、ある特殊解<math>y_0</math>が与えられているとする。この時、<math>z = y - y_0</math>とおいて元の微分方程式へ代入すると、
:<math>\begin{align}
z' + y_0' &= f(x)(z + y_0)^2 + g(x)(z + y_0) + h(x) \\
z' &= f(x)z^2 + \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}z + \left\{f(x)y_0^2 + g(x)y_0 + h(x) - y_0'\right\}
\end{align}</math>
となる。ここで<math>y_0</math>がこの微分方程式の特殊解であることから
:<math>y_0' = f(x)y_0^2 + g(x)y_0 + g(x)</math>
が成り立っているので、
:<math>z' = f(x)z^2 + \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}z</math>
となる。これはベルヌーイの微分方程式で<math>n = 2</math>の場合であるから、[[#ベルヌーイの微分方程式|前節]]で見た方法で解くことができる。両辺に<math>-z^{-2}</math>をかけて
:<math>-z^{-2}z' = -f(x) - \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}z^{-1}</math>
さらに<math>u = z^{-1}</math>とおくと<math>u' = -z^{-2}z'</math>であるから
:<math>u' = -f(x) - \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}u</math>
となって、1階線型微分方程式に帰着する。この一般解は、前節で見た式から
:<math>z = e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx} \left\{-\int f(x)e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx} dx + C\right\}^{-1}</math>
となり、求めるべき微分方程式の一般解も
:<math>\begin{align}
y = z + y_0 &= e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx} \left\{-\int f(x)e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx} dx + C\right\}^{-1} + y_0 \\
&= \frac{e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx}}{-\int f(x)e^{\int \left\{2f(x)y_0 + g(x)\right\}dx} dx + C} + y_0
\end{align}</math>
と求まる。
=== 演習 ===
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