「大学受験数学 三角関数/公式集」の版間の差分
削除された内容 追加された内容
M編集の要約なし |
編集の要約なし |
||
2 行
== 三角関数の定義 ==
x軸の正の部分を反時計回りに角度θだけ回転させた半直線が単位円と交わる点の座標を(x,y)とするとき、次で定まる値を角度θの三角関数という。
▲xy平面上に半径1の円を考える。この円を単位円という。単位円は<math>y^2+x^2=1</math>と表される。
:<math>\sin \theta=y,\cos \theta=x,\tan \theta=\frac{y}{x},\cot \theta=\frac{x}{y},\sec \theta=\frac{1}{x},\csc \theta=\frac{1}{y}</math>
<math>\sin \theta=\frac{y}{r},\cos \theta=\frac{x}{r},\tan \theta=\frac{y}{x},\cot \theta=\frac{x}{y},\sec \theta=\frac{r}{x},\csc \theta=\frac{r}{y}</math>それぞれ正弦関数（sine）、余弦関数（cosine）、正接関数（tangent）、余接関数（cotangent）、正割関数（secant）、余割関数（cosecant）と呼ばれる。このうち頻繁に使われるのは、<math>\sin \theta=\frac{y}{r},\cos \theta=\frac{x}{r},\tan \theta=\frac{y}{x}</math>の3種類である。▼
▲
== 覚えるべき三角関数の値 ==▼
:<math>\cot \theta = \frac{1}{\tan\theta},\sec \theta = \frac{1}{\cos\theta}, \csc \theta = \frac{1}{\sin\theta}</math>
を以下に記す公式と組み合わせることで各種公式を導くことができるが、ここでは省略する。
<math>\sin 0^\circ=0,\cos 0^\circ=1,\tan 0^\circ=0</math><br>
<math>\sin 30^\circ=\frac{1}{2},\cos 30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\tan 30^\circ=\frac{1}{\sqrt{3}}</math><br>
<math>\sin 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\cos 45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2},\tan 45^\circ=1</math><br>
<math>\sin 60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos 60^\circ=\frac{1}{2},\tan 60^\circ=\sqrt{3}</math><br>
<math>\sin 90^\circ=1,\cos 90^\circ=0
== 三角関数の基本的性質 ==
56 ⟶ 62行目:
== 半角公式 ==
半角公式は次数を下げるために用いられる。▼
<math>\sin^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 - \cos 2\alpha)</math><br>
<math>\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)</math><br>
71 ⟶ 75行目:
<math>\cos^2 \alpha=\frac{1}{2}(1 + \cos 2\alpha)</math><br>
=== 半角公式の使用例 ===
▲半角公式はしばしば次数を下げるために用いられる。たとえば、
<math>\int \sin^2 x \,dx=\int \frac{1}{2}(1-\cos 2x)\,dx=\frac{1}{2}\left(x-\frac{\sin 2x}{2}\right)+C=\frac{1}{4}(2x-\sin 2x)+C</math>
== 和積変換公式 ==
116 ⟶ 122行目:
== 三分の一倍角の公式 ==
<math>\sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)</math><br>
<math>\cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)</math><br>
=== 三分の一倍角の公式の証明 ===
<math>\sin 3\alpha=-4sin^3 \alpha + 3\sin \alpha</math><br>
<math>\sin 3\alpha - 3\sin \alpha=-4sin^3 \alpha</math><br>
<math>\sin^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\sin \alpha - \sin 3\alpha)</math><br>
<math>\cos 3\alpha=4\cos^3 \alpha - 3\cos \alpha</math><br>
<math>\cos 3\alpha + 3\cos \alpha=4\cos^3 \alpha</math><br>
<math>\cos^3 \alpha=\frac{1}{4}(3\cos \alpha + \cos 3\alpha)</math><br>
[[Category:大学入試|すうかくさんかくかんすうこうしきしゆう]]
| |||