「集合論」の版間の差分
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== 写像 ==
我々は、関数という概念を既に知っている。fが関数であるとは、xという数に対して別の数f(x)がただひとつ定まることであった。ここでは、関数の概念を一般化した写像という概念を考える。すなわち、集合XとYについて、任意の<math>x \in X</math>に対して<math>f(x) \in Y</math>がただひとつ定まるとき、この対応fはXからYへの'''写像'''であるといい、
:<math>f:X \to Y , x \mapsto f(x)</math> と書くことにする。2つの写像<math>f_1,f_2:X \to Y</math>について、
:<math>f_1=f_2 \Leftrightarrow \forall x \in X \ f_1(x)=f_2(x)</math>
と定める。
2つの写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to Z</math>があるとき、写像<math>h:X \to Z , x \mapsto g(f(x))</math>が定まる。これをfとgの'''合成'''といい、<math>g \circ f</math>と書く。▼
=== 像と逆像 ===
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特に空集合は任意の集合の部分集合なので、空集合からは任意の集合へ包含写像を考えることができる（実質的には何も定めていない写像だが、集合論的に考えることはできる、ということである）。これを特に空写像という。
▲写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to Z</math>があるとき、写像<math>h:X \to Z , x \mapsto g(f(x))</math>が定まる。これをfとgの'''合成'''といい、<math>g \circ f</math>と書く。
写像<math>f:X \to Y</math>と<math>g:Y \to X</math>があって、<math>g \circ f =id_X</math>かつ<math>f \circ g =id_Y</math>を満たすとき、gはfの'''逆写像'''であるといい、<math>f^{-1}</math>と書く。
写像fに逆写像が存在することと、写像fが全単射であることは同値である。写像が全単射であることを証明するために、全射かつ単射であることを示すより、具体的に逆写像を構成してしまったほうが簡単な場合がしばしばある。
単射・全射については以下の命題も成り立つ。
'''命題'''
写像<math>g:Y \to Z</math>が単射で、<math>f_1,f_2:X \to Y</math>が<math>g \circ f_1=g \circ f_2</math>を満たすとき、<math>f_1=f_2</math>
:（証明）<br /><math>x \in X</math>を任意にとると、<math>g(f_1(x))=g(f_2(x))</math>であり、''g''が単射なので、<math>f_1(x)=f_2(x)</math>である。よって<math>f_1=f_2</math>である。
'''命題'''
写像<math>f:X \to Y</math>が全射で、<math>g_1,g_2:Y \to Z</math>が<math>g_1 \circ f=g_2 \circ f</math>を満たすとき、<math>g_1=g_2</math>
:（証明）<br /><math>y \in Y</math>を任意にとると、''f''が全射なので、<math>f(x)=y</math>なる<math>x \in X</math>がある。<math>g_1(f(x))=g_2(f(x))</math>なので、<math>g_1(y)=g_2(y)</math>である。よって、<math>g_1=g_2</math>である。
これらの命題は、単射や全射という概念を、集合の元という概念（もっといえば、集合という対象）を用いずに特徴づけているという点で重要な命題である。
=== 写像の制限 ===
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